Osoita, että polku, joka jäljittyy kolmen keskinäisen kohtisuoran tangenttitason leikkauspisteeseen ellipsoidiakseliin ^ 2 + ^ 2 + cz ^ 2 = 1, on pallo, jolla on sama keskipiste kuin ellipsoidilla.

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Kutsumus # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + by ^ 2 + tan ^ 2-1 = 0 #

Jos #p_i = (x_i, y_i, z_i) kohteessa E # sitten

# Ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # on tasainen tangentti # E # sillä on yhteinen kohta ja #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # on normaali # E #

Päästää # Pi-> alfa x + beeta y + gamma z = delta # olla yleinen taso, joka koskettaa # E # sitten

# {(x_i = alfa / (delta)), (y_i = beeta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #

mutta

# Ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # niin

# Alfa ^ 2 / a + beeta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # ja yleinen tangenttitason yhtälö on

# alfa x + beeta y + gamma z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beeta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #

Nyt on annettu kolme ortogonaalista tasoa

# Pi_i-> alpha_i x + beeta_i y + gamma_i z = delta_i #

ja kutsutaan #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # ja tekeminen

#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # voimme valita

#V cdot V ^ T = I_3 #

ja sen seurauksena

# V ^ Tcdot V = I_3 #

sitten meillä on myös

# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1) (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #

Lisää nyt #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # meillä on

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy summa (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + summa (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #

ja lopuksi

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

mutta #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

niin

# X ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

joka on polku, joka jäljittyy kolmen keskinäisen kohtisuoran tangenttitason leikkauspisteeseen ellipsoidiin.

Kiinnitetty ellipsoidin juoni

# X ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #