Koboltin 60 puoliintumisaika on 5 vuotta. Miten saat koboltin 60 eksponentiaalisen hajoamismallin muodossa Q (t) = Q0e ^ kt?

Vastaus:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Selitys:

Me perustimme differentiaaliyhtälön. Tiedämme, että koboltin muutosnopeus on verrannollinen läsnä olevan koboltin määrään. Tiedämme myös, että kyseessä on hajoamismalli, joten on negatiivinen merkki:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Tämä on mukava, helppo ja erottuva erotus:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# tarkoittaa ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Nosta kummallekin puolelle eksponentteja:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Nyt kun tiedämme yleisen muodon, meidän täytyy selvittää, mitä # K # on.

Anna puoliintumisaika merkitä # Tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

#sein 1/2 = e ^ (- ktau) #

Ota luonnolliset tukit molemmilta puolilta:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Siistiä, kirjoita uudelleen #ln (1/2) = -ln (2) #

# täten k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) yr ^ (- 1) #

#siksi Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #