Miten löydät rajaa (arctan (x)) / (5x), kun x lähestyy 0: ta?

Vastaus:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

Selitys:

Jos haluat löytää tämän rajan, huomaa, että sekä laskuri että nimittäjä siirtyvät #0# kuten # X # lähestymistavat #0#. Tämä tarkoittaa, että saisimme määrittelemättömän muodon, joten voimme soveltaa L'Hospitalin sääntöä.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

Käyttämällä L'Hospitalin sääntöä otamme lukijan ja nimittäjän johdannaisen, joka antaa meille

#lim_ (x-> 0) (1 / (x ^ 2 + 1)) / (5) = lim_ (x-> 0) 1 / (5x ^ 2 + 5) = 1 / (5 (0) ^ 2 +5) = 1/5 #

Voimme myös tarkistaa tämän piirtämällä toiminnon, jotta saisimme käsityksen siitä, mitä # X # lähestymistapoja.

Kuvaaja #arctan x / (5x) #:

kaavio {(arctan x) / (5x) -0,4536, 0,482, -0,0653, 0,4025}

Vastaus:

Alla on selostettu pitempi lähestymistapa, jossa käytetään trigsiä.

Selitys:

Siinä tapauksessa, että et ole tyytyväinen L'Hopitalin sääntöön tai et ole vielä altistunut sille, toinen lähestymistapa ongelman ratkaisemiseen liittyy arctangenttitoiminnon määrittelyyn.

Muista, että jos # Tantheta = x #sitten # Theta = arctanx #; tämä merkitsee olennaisesti sitä, että arktangentti on tangentin kääntöpuoli. Tämän tiedon avulla voimme rakentaa kolmion, jossa # Tantheta = x # ja # Theta = arctanx #:

Kaaviosta on selvää, että # Tantheta = x / 1 = x #. Siitä asti kun # Tantheta = sintheta / costheta #, voimme ilmaista tämän seuraavasti:

# Tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

Käyttämällä tätä ja sitä, että # Theta = arctanx #, voimme tehdä korvauksia rajaan:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) #

Tämä vastaa:

#lim_ (theeta-> 0) 1/5 * lim_ (theeta-> 0) theta * lim_ (theeta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (thee-> 0) theta / sintheta * lim_ (thee-> 0) costheta #

Tiedämme sen #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; niin #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # tai #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. Ja siitä lähtien # Cos0 = 1 #, raja arvioidaan:

# 1/5 * lim_ (theeta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theeta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#