Mikä on linjan, joka on normaali f (x) = sek ^ 2x-xcos (x-pi / 4) tangenttilinjalle, kaltevuus x = (15pi) / 8?

Vastaus:

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Interaktiivinen kuvaaja

Selitys:

Ensimmäinen asia, joka meidän on tehtävä, on laskea #f '(x) # at #x = (15pi) / 8 #.

Tehdään tämä termi. Varten # S ^ 2 (x) # Huomaa, että meillä on kaksi toisiinsa upotettua toimintoa: # X ^ 2 #, ja #sec (x) #. Joten meidän on käytettävä tässä ketjua:

# d / dx (sek (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sek (x)) #

#color (sininen) (= 2sec ^ 2 (x) tan (x)) #

Toisen kauden aikana meidän on käytettävä tuotesääntöä. Niin:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = väri (punainen) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + väri (punainen) (d / dxcos (x-pi / 4)) (x) #

#color (sininen) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Saatat ihmetellä, miksi emme käyttäneet ketjun sääntöä tähän osaan, koska meillä on # (x - pi / 4) # sisällä kosiniin. Vastaus on me implisiittisesti, mutta emme ottaneet sitä huomioon. Huomaa, kuinka # (x - pi / 4) # on yksinkertaisesti 1? Näin ollen kertomalla se ei muutu mitään, joten emme kirjoittaa sitä laskelmissa.

Nyt laitamme kaiken yhteen:

# d / dx (sek ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = väri (violetti) (2 sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Katso merkkejäsi.

Nyt on löydettävä viivan tangentti #F (x) # at #x = (15pi) / 8 #. Tätä varten liitämme tämän arvon vain #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2 sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = väri (violetti) (~ ~ -6,79) #

Emme kuitenkaan halua f (x): n tangenttia viivaa, vaan linjaa normaali siihen. Saadaksesi tämän, otamme vain edellä mainitun kaltevuuden negatiivisen käänteisyyden.

#m_ (normi) = -1 / -15.78 väri (violetti) (~~ 0.015) #

Nyt vain sovitamme kaiken pisteiden kaltevuuteen:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0,063 (x - (15pi) / 8) - 1,08 #

Tutustu tähän interaktiiviseen kaavioon nähdäksesi, mitä tämä näyttää!

Toivottavasti se auttoi:)