Miten löytää ensimmäisen johdannaisen f (x) = 2 sin (3x) + x?

Vastaus:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Selitys:

Erota jokainen termi:

# (D (x)) / dx = 1 #

Ketjun sääntöjen käyttäminen toisella aikavälillä:

#G (x) = h (k (x)) => g (x) = k '(x) h' (k (x)) #

Kanssa:

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#K (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#G (x) = 2sin (3x) => g (x) = 6cos (3x) #

Yhdessä meillä on:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Vastaus:

Meitä pyydetään löytämään johdannainen #f (x) = 2sin (3x) + x # käyttäen määritelmää: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Selitys:

Meidän on arvioitava:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - päällekkäisyys (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

Tämä on hankalaa. Jotta se näyttäisi olevan monimutkaisempi, jaetaan lauseke kahteen yksinkertaisempaan osaan. Otamme trigonometrisen osan ja lineaarisen osan erikseen.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Oletan, että voit osoittaa, että toinen raja on #1#. Haastavampi raja on trigonometristen toimintojen raja.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Joten kun laitamme kaksi kappaletta yhteen, saamme:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #