Mitä -3sin (arccos (2)) - cos (arc cos (3)) vastaa?

Vastaus:

Ongelma on maksuton

Selitys:

Ei ole mitään kaaria, joiden kosinit ovat 2 ja 3.

Analyyttiseltä kannalta # Arccos # toiminto on määritetty vain #-1,1# niin #arccos (2) # & #arccos (3) # ei ole olemassa.

Vastaus:

Oikeasti # Cos # ja #synti# tällä ei ole ratkaisuja, mutta monimutkaisten numeroiden funktiona löydämme:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

Selitys:

Kun todelliset arvot ovat # X #, toiminnot #cos (x) # ja #sin (x) # ota vain arvot alueelle #-1, 1#, niin #arccos (2) # ja #arccos (3) # ovat määrittelemättömiä.

Näiden toimintojen määritelmää voidaan kuitenkin laajentaa Complex-toimintoihin #cos (z) # ja #sin (z) # seuraavasti:

Alkaen:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = cos (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

voimme päätellä:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / 2 #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

Näin ollen voimme määritellä:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

mikä tahansa Complex-numero # Z #.

On mahdollista löytää useita arvoja # Z # jotka täyttävät #cos (z) = 2 # tai #cos (z) = 3 #, joten pääarvon määrittämiseksi voitaisiin tehdä joitakin valintoja #arccos (2) # tai #arccos (3) #.

Löydä sopivia ehdokkaita # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / 2 = 2 #, jne.

Huomaa kuitenkin, että identiteetti # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # pitää kaikki Complex-numerot # Z #, joten voimme päätellä:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

Toivon, että on mahdollista määritellä pääarvo siten, että #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # mielummin kuin # -sqrt (3) i #.

Joka tapauksessa, #cos (arccos (3)) = 3 # määritelmän mukaan.

Kaikki tämä yhdistetään, löydämme:

# -3 sin (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #