Y = f (x) annetaan.Kuvaaja, y = f (3x) -2 ja y = -f (x-1)?

Vastaus:

Älä käytä käyräpaperia kätevästi - joten toivon, että kuvaus auttaa!

Selitys:

varten # Y = f (3x) -2 # ensimmäinen puristaa annettu kaavio # X # akseli kertoimella 3 (niin, että vasemmanpuoleinen vähimmäisarvo, esimerkiksi, tapahtuu # X = -2/3 #) ja työnnä sitten koko kaavio alas 2 yksikköä. Niinpä uudella kaavalla on vähintään #x = -2 / 3 # joiden arvo on # y = -2 #, maksimi #(0,0)# ja toinen vähintään #(4/3, -4)#

varten # Y = f (x-1) # siirrä ensin kuvaajan 1 yksikkö oikea, sitten käännä se ylösalaisin! Niinpä uusi kaavio tulee olemaan kaksi maksimit at #(-1,0)# ja #(5,2)# ja vähintään #(1,-2) #

Vastaus:

Tässä on yksityiskohtaisempi selitys

Selitys:

Ongelmat ovat erityistapauksia yleisempään ongelmaan:

Kun otetaan huomioon kaavio # Y = f (x) #, mikä on kuvaaja #y = a f (b x + c) + d # ?

(ensimmäinen on # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, kun taas toinen on # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Yritän selittää vastausta vaiheittain käsittelemällä ongelman kerrallaan. Se on melko pitkä vastaus - mutta toivottavasti yleinen periaate on selvä sen loppuun mennessä.

Esimerkiksi käytän tiettyä käyrää, jota näytän alla, mutta idea toimii yleensä.

(Jos joku on kiinnostunut, funktio, jota tässä kuvataan, on #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Koska graafi on # Y = f (x) #, mikä on kuvaaja #y = f (x) + d # ?

Tämä on helppoa - sinun tarvitsee vain huomata, että jos # (X, y) # on sitten piste ensimmäisessä kaaviossa # (X, y + d) # on piste toisessa. Tämä tarkoittaa, että toinen kaavio on korkeampi kuin ensimmäinen etäisyydellä # D # (Tottakai jos # D # on negatiivinen, se on pienempi kuin ensimmäinen kaavio # | D | #).

Niin, kuvaaja # Y = f (x) + 1 # tulee olemaan

Kuten näet, kuvaaja #y = f (x) + 1 # (kiinteä violetti viiva) saadaan yksinkertaisesti painamalla graafia # Y = f (x) # (harmaa katkoviiva) ylös yksi yksikkö.

Kuvaaja # Y = f (x) -1 # löytyy painamalla alkuperäistä kuvaa alas yksi yksikkö:

2) Koska graafi on # Y = f (x) #, mikä on kuvaaja #y = f (x + c) # ?

On helppo nähdä, että jos # (X, y) # on kohta # Y = f (x) # sitten # (X-c, y) # on kohta #y = f (x + c) # kuvaaja. Tämä tarkoittaa, että voit saada kaavion #y = f (x + c) # kuvasta #y = f (x) # yksinkertaisesti siirtämällä se vasen mennessä # C # (Tottakai jos # C # on negatiivinen, sinun on siirrettävä alkuperäinen kuvaaja # | C | # oikealle.

Esimerkiksi kuvaaja # Y = f (x + 1) # löytyy painamalla alkuperäistä kuvaajan vasen yksi yksikkö:

kun taas # Y = f (x-1) # sisältää alkuperäisen kaavion työntämisen oikea yksi yksikkö:

3) Koska graafi on # Y = f (x) #, mikä on kuvaaja #y = f (bx) # ?

Siitä asti kun #f (x) = f (b kertaa x / b) # Tästä seuraa, että jos # (X, y) # on kohta #y = f (x) # sitten # (x / b, y) # on kohta # Y = f (BX) # kuvaaja.

Tämä tarkoittaa, että alkuperäisen kaavion on oltava ahtaalle tekijä # B # varrella # X # akselilla. Tietenkin puristaminen # B # on todella a venyttely mennessä # 1 / b # tapauksessa # 0 <b <1 #

Kuvaaja # Y = f (2x) # on

Huomaa, että samalla kun korkeus pysyy samana kohdassa 1, leveys kutistuu kertoimella 2. Erityisesti alkuperäisen käyrän huippu on siirtynyt # X = 1 # että # X = 1/2 #.

Toisaalta kuvaaja on # Y = f (x / 2) # on

Huomaa, että tämä kaavio on kaksi kertaa leveämpi (puristamalla #1/2# on sama kuin venytys kertoimella 2) ja huippu on myös siirtynyt # X = 1 # että # X = 2 #.

Erityisesti on mainittava tapaus, jossa # B # on negatiivinen. On parasta ehkä ajatella tätä kaksivaiheisena prosessina

• Etsi ensin kaavio # Y = f (-x) #, ja sitten
• purista tuloksena oleva kuvaaja # | B | #

Huomaa, että jokaisen pisteen kohdalla # (X, y) # alkuperäisen kaavion, kohta # (- x, y) # on piste kuvassa # Y = f (-x) # - niin uusi kaavio löytyy heijastamalla vanhaa kuvaa # Y # akselilla.

Esimerkkinä kaksivaiheisesta prosessista on otettava huomioon # Y = f (-2x) # nähtävissä alla:

Tässä alkuperäinen käyrä # Y = f (x) # ensin käännetään noin # Y # akseli saadaksesi käyrän # Y = f (-x) # (ohut syaani linja). Tämän jälkeen se puristuu #2# saada käyrä # Y = f (-2x) # - paksu violetti käyrä.

4) Ottaen huomioon kaavion # Y = f (x) #, mikä on kuvaaja #y = af (x) # ?

Kuvio on sama täällä - jos # (X, y) # on sitten piste alkuperäisessä käyrässä # (X, ay) # on piste kuvassa # Y = af (x) #

Tämä tarkoittaa sitä, että positiivinen # A #, kuvaaja saa venytetyksi # A # varrella # Y # akselilla. Jälleen arvo # A # 0: n ja 1: n välillä tarkoittaa, että venytyksen sijasta käyrä puristetaan tosiasiallisesti # 1 / a # varrella # Y # akselilla.

Alla oleva käyrä on # y = 2f (x) #

Huomaa, että kun huippu on samalla arvolla # X # - sen korkeus on kaksinkertaistunut 2: een 1: stä. Tietysti se ei ole vain piikki, joka on venytetty - # Y # alkuperäisen käyrän jokaisen pisteen koordinaatti on kaksinkertaistunut uuden käyrän saamiseksi.

Alla oleva kuva havainnollistaa puristusta, joka tapahtuu, kun #0<>

Jälleen kerran #A <0 # on erityisen varovainen - ja on parempi, jos teet tämän kahdessa vaiheessa

1. Käännä ensin käyrä ylösalaisin # X # akseli saadaksesi käyrän # Y = f (x) #
2. Venytä käyrää # | En | # varrella # Y # akselilla.

Käyrä # Y = f (x) # on

kun alla oleva kuva havainnollistaa kahta käyrää piirrettäessä #y = -2f (x) #

Kaikki yhdistetään

Nyt kun olemme käyneet läpi yksittäiset vaiheet, anna meidän laittaa ne yhteen! Käyrän piirustusmenetelmä

# y = a f (bx + c) + d #

alkaen # Y = f (x) # koostuu olennaisesti seuraavista vaiheista

1. Piirrä käyrä # Y = f (x + c) #: siirrä kuvaajan etäisyys # C # vasemmalle
2. Sitten piirtää se #y = f (bx + c) #: purista käyrää, jonka saat vaiheesta 1 # X # suuntaan # | B | #, (ensin kääntämällä se # Y # akseli, jos #b <0 #)
3. Piirrä sitten kuvaaja # Y = af (bx + c) #: skaalaa käyrä, jonka sait vaiheesta 2 kertoimella # A # pystysuunnassa.
4. Paina lopuksi käyrää, jonka saat vaiheessa 3 ylöspäin # D # saada lopputulos.

Tietenkin sinun on suoritettava kaikki neljä vaihetta vain äärimmäisissä tapauksissa - usein pienempi määrä toimia! Vaiheiden järjestys on myös tärkeä.

Jos mietit, nämä vaiheet johtuvat siitä, että jos # (X, y) # on kohta # Y = f (x) # sitten piste

# ({x-c} / b, ay + d) # sijaitsee # Y = af (bx + c) + d # kuvaaja.

Haluaisin havainnollistaa prosessia esimerkillämme #F (x) #. Yritetään rakentaa kaavio #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Ensimmäinen - siirtyminen vasemmalle 3 yksiköllä

Sitten: purista kertoimella 2 pitkin # X # akseli

Käännä sitten kuvaajan ympärille # X # akselin ja sitten skaalaamalla kertoimella 2 # Y #

Lopuksi siirtämällä käyrä 1 yksiköllä - ja olemme valmiit!