Osoita, että kaikki polygonaaliset sekvenssit, jotka ZZ: n aritmeettisen sekvenssin sarjassa synnyttävät yhteisen eron d, d, ovat monikulmaisia sekvenssejä, jotka voidaan tuottaa a_n = an ^ 2 + bn + c?

Vastaus:

# a_n = P_n ^ (d + 2) = an ^ 2 + b ^ n + c #

kanssa # A = d / 2; b = (2-d) / 2; c = 0 #

# P_n ^ (d + 2) # on monikulmainen sarja, # r = d + 2 #

esimerkkinä on aritmeettinen sekvenssi, joka ohittaa laskennan # D = 3 #

sinulla on #COLOR (punainen) (viisikulmainen) # sekvenssi:

# P_n ^ väri (punainen) 5 = 3 / 2n ^ 2-1 / 2n # antaminen # P_n ^ 5 = {1, väri (punainen) 5, 12, 22,35,51, cdots} #

Monikulmainen sekvenssi rakennetaan ottamalla # Nnen # aritmeettisen sekvenssin summa. Laskelmassa tämä olisi integrointi.

Tärkein hypoteesi on siis:

Koska aritmeettinen sekvenssi on lineaarinen (ajatella lineaarinen yhtälö), niin lineaarisen sekvenssin integrointi johtaa polynomin asteeseen 2.

Nyt näyttää tämä asia

Aloita luonnollisella sekvenssillä (ohita laskeminen aloittamalla 1)

#a_n = {1, 2,3,4, cdots, n} #

etsi n. summa #S_n = sum_i ^ (i = n) a_n #

# S_1 = 1; S_2 = 3, S_3 = 6, cdots #

#S_n = (a_1 + a_n) / 2 n; #

# A_n # on aritmeettinen sekvenssi

# a_n = a_1 + d (n-1); a_1 = 1; d = 1 #

#S_n = (1 + a_n) / 2 n = (1 + 1 + (n-1)) / 2n = n (n + 1) / 2 #

#S_n = P_n ^ 3 = {1, 3, 6, 10, cdots, (1 / 2n ^ 2 + 1 / 2n)} #

Joten d = 1: llä sekvenssi on muotoa # P_n ^ 3 = ^ 2 + bn + c #

kanssa #a = 1/2; b = 1/2; c = 0 #

Nyt yleistää mielivaltaisen ohituslaskurin #COLOR (punainen) d #, #color (punainen) d värissä (sininen) ZZ # ja # a_1 = 1 #:

# P_n ^ (d + 2) = S_n = (a_1 + a_1 + väri (punainen) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = (2 + väri (punainen) d (n-1)) / 2 n #

# P_n ^ (d + 2) = väri (punainen) d / 2n ^ 2 + (2-väri (punainen) d) n / 2 #

Mikä on yleinen muoto # P_n ^ (d + 2) = ^ 2 + bn + c #

kanssa # A = väri (punainen) d / 2; b = (2-väri (punainen) d) / 2; c = 0 #