Kahden peräkkäisen numeron neliön summa on 390. Miten määrität neliöyhtälön löytääksesi kaksi numeroa?

Vastaus:

Neliö olisi # 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #.

Tällä ei ole kokonaislukuratkaisuja.

Kumpikaan ei ole myöskään kahden kokonaisluvun neliöiden summa #390#.

Kahden Gaussin kokonaisluvun neliöiden summa voi olla 390.

Selitys:

Jos pienempi näistä kahdesta numerosta on # N #, niin suurempi on # N + 1 # ja niiden neliöiden summa on:

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 2n ^ 2 + 2n + 1 #

Niinpä kvadratinen yhtälö, jonka haluaisimme ratkaista, on:

# 2n ^ 2 + 2n + 1 = 390 #

tai jos haluat:

# 2n ^ 2 + 2n-389 = 0 #

Huomaa kuitenkin, että mikä tahansa kokonaisluku # N # summa # 2n ^ 2 + 2n + 1 # on outoa, joten se ei ole mahdollista #390# olla kahden konsedivien kokonaislukujen neliöiden summa.

Voiko se ilmaista minkä tahansa kahden kokonaisluvun neliöiden summana?

#390 - 19^2 = 390 - 361 = 29' '# ei ole neliö

#390 - 18^2 = 390 - 324 = 66' '# ei ole neliö

#390 - 17^2 = 390 - 289 = 101' '# ei ole neliö

#390 - 16^2 = 390 - 256 = 134' '# ei ole neliö

#390 - 15^2 = 390 - 225 = 165' '# ei ole neliö

#390 - 14^2 = 390 - 196 = 194' '# ei ole neliö

Ei - jos menemme pidemmälle, suuri neliöalueen vähentämisen jälkeinen loppuosa ei ole yksi niistä, joita olemme jo tarkistaneet.

#väri valkoinen)()#

Monimutkainen alaviite

Onko olemassa Gaussin kokonaislukuja, joiden neliön summa on #390#?

Joo.

Oletetaan, että voimme löytää Gaussin kokonaisluvun # M + ni #, jonka todellinen osa on #195#. Sitten kyseisen Gaussin kokonaisluvun neliön summa ja sen kompleksisen konjugaatin neliö olisi ratkaisu.

Löydämme:

# (m + ni) ^ 2 = (m ^ 2-n ^ 2) + 2mni #

Joten haluamme löytää kokonaislukuja #m, n # niin että # m ^ 2-n ^ 2 = 195 #

Hyvin:

#14^2-1^2 = 196-1 = 195#

Siksi löydämme:

# (14 + i) ^ 2 + (14-i) ^ 2 = 196 + 28i-1 + 196-28i-1 = 390 #

Toinen ratkaisu, joka johtuu siitä, että jokainen pariton luku on kahden peräkkäisen numeron neliöiden ero on:

# (98 + 97i) ^ 2 + (98-97i) ^ 2 = 390 #