Kysymys # 242a2

Vastaus:

Kondensaattoriin varastoitua energiaa varten # T # meillä on #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # missä #E (0) # on alkuperäinen energia, # C # kapasiteetti ja # R # kondensaattorin kaksi puolta yhdistävän viiran vastus.

Selitys:

Tarkastellaan ensin joitakin keskeisiä käsitteitä ennen kuin vastaat tähän kysymykseen. Tietenkin meidän on tiedettävä kondensaattoriin tallennettu energia tai pikemminkin kondensaattoriin tallennetun varauksen aiheuttama sähkökenttään tallennettu energia. Tätä varten meillä on kaava # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # kanssa # C # kondensaattorin ja. t # Q # yksi kondensaattorilevyihin tallennettu varaus. 1

Jotta voisimme tietää, miten energia vähenee, meidän on tiedettävä, miten maksu pienenee. Tätä varten meidän on pidettävä mielessä muutamia asioita. Ensimmäinen asia on, että maksu voi laskea vain, jos se voi mennä minne tahansa. Yksinkertaisin skenaario on, että nämä kaksi levyä on kytketty lankaan, jolloin levyt voivat vaihtaa maksua, jolloin ne tulevat neutraaleiksi. Toinen asia on se, että jos olisimme ottaneet langan olemaan vastarintaa, maksu voisi liikkua välittömästi, joten energia laskisi myös nollaan samassa nopeudessa. Koska tämä on tylsä tilanne, ja lisäksi ei todellakaan realistinen, oletamme, että johdolla on jonkin verran vastustusta # R #, jota voimme mallintaa liittämällä kondensaattorilevyt vastuksen omaavan vastuksen kautta # R # käyttämällä vastusta vähemmän johtoja.

Meillä on nyt ns. RC-piiri, joka on nähtävissä alla. Jotta voisimme selvittää, miten tallennetut lataukset muuttuvat, meidän täytyy kirjoittaa eräitä differentiaaliyhtälöitä. En ole varma, miten taitava lukija on matematiikassa, joten kerro minulle, jos seuraava osa on teille epäselvä, ja yritän selittää sitä tarkemmin.

Ensinnäkin huomaamme, että kun kävelemme lankaa pitkin, koemme kaksi hyppää sähköpotentiaalia (jännite), nimittäin kondensaattorissa ja vastuksessa. Nämä hypyt ovat # DeltaV_C = Q / C # ja # DeltaV_R = IR # 1. Huomaa, että aluksi ei ole virtaa, joten mahdollinen ero vastuksen suhteen on 0, mutta kuten näemme, tulee virtaa, kun maksut alkavat liikkua. Huomaa nyt, että kun kävelemme piirin ympäri alkaen yhdestä pisteestä, päädymme taas samaan pisteeseen, koska olemme piirissä. Tässä yksittäisessä pisteessä potentiaali on sama molemmat ajat, koska se on sama piste. (Kun sanon, että kävelemme pitkin piiriä, en tarkoita sitä kirjaimellisesti, vaan tarkastamme piirin jännitevälit yhdellä hetkellä, joten aikaa ei kulje, kun kiertää pitkin piiriä, joten väite on voimassa, vaikka jännite muuttuu ajoissa.)

Tämä tarkoittaa, että potentiaalinen hyppy on nolla. Niin # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Nyt ajattelemme mitä # I #, virta on. Virta liikkuu varauksella, se ottaa positiivisen varauksen pois yhdestä kondensaattorilevystä ja toimittaa sen toiselle. (Itse asiassa suurin osa siitä on toisin päin, mutta tämän ongelman matematiikassa ei ole väliä.) Tämä tarkoittaa sitä, että virta vastaa levyjen veloitusta, toisin sanoen # I = (dQ) / dt #. Tämän korvaaminen edellä olevassa yhtälössä antaa meille # (DQ) / DTR + Q / C = 0 #, joka tarkoittaa # (DQ) / dt = Q / (CR) #. Tämä on ns. Lineaarinen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Se määrittelee maksun muutoksen maksun arvolla tuolloin lineaarisesti, mikä tarkoittaa, että jos maksu olisi kaksi kertaa suurempi, myös maksun muutos olisi kaksinkertainen. Voimme ratkaista tämän yhtälön älykkään laskennan käytön avulla.

# (DQ) / dt = Q / (CR) #, oletamme # Qne0 #, jota se ei aluksi ole, ja koska se osoittautuu, se ei koskaan tule olemaan. Tämän avulla voimme sanoa # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Tietää # Q # jossain vaiheessa # T # (toisin sanoen #Q (t) #, integroimme yhtälön seuraavasti: # Int_0 ^ t1 / (Q (t)) (dQ (t)) / (dt) dt "= int_0 ^ t1 / (CR) dt '= - t / (CR) # siitä asti kun # C # ja # R # ovat vakioita. # Int_0 ^ t1 / (Q (t)) (dQ (t)) / (dt) dt "= int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # muuttujien muuttuessa. Tämä tarkoittaa #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, niin #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Lopuksi meidän on korvattava tämä energian yhtälössä:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Niinpä energia laskee eksponentiaalisesti ajan kuluessa. Todellakin näemme, että jos # R # joutuivat nollaan #E (t) # menisi välittömästi 0: een.

1 Griffiths, David J. Johdatus elektrodynamiikkaan. Neljäs painos. Pearson Education Limited, 2014