Vastaus:
Muuntaa # 1 + i # (minun Ti-83-kuvaajana)
Selitys:
Päästää # S = qrt {-2 + 2qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + …}}}}} #
Ensinnäkin olettaen, että tämä ääretön sarja konvergoituu (ts. Olettaen, että S on olemassa ja vie kompleksiluvun arvon), # S ^ 2 = -2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2qrt {-2 + 2 qrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + …}}}} #
frac {S ^ 2 + 2} {2} = qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + 2 qrt {-2 + …}}}} #
# fr {S ^ 2 + 2} {2} = S #
Ja jos ratkaiset S: n:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
ja käytät neljännesvuosittaista kaavaa:
# S = fr {2} qrt {4-8}} {2} = frac {2} qrt {-4}} {2} = fr {2} 2i} {2} = 1 pm i #
Tavallisesti neliöjuuritoiminto ottaa positiivisen arvon # S = 1 + i #
Näin ollen, jos se konvergoituu, sen on lähestyttävä # 1 + i #
Nyt sinun tarvitsee vain todistaa, että se konvergoituu tai jos olet laiska kuin minä, voit liittää # sqrt {-2} # laskimeen, joka pystyy käsittelemään kuvitteellisia numeroita ja käyttämään toistuvuussuhdetta:
# f (1) = qrt {-2} #
# f (n + 1) = qrt {-2 + 2 qrt {f (n)} #
Toistin tämän monta kertaa Ti-83: ssa ja huomasin, että se on lähempänä esimerkiksi sen jälkeen, kun olen toistanut sen jonnekin kuin 20 kertaa sain suunnilleen
# +1,000694478 + 1.001394137i #
melko hyvä arvio
