20 cm: n pituinen merkkijono leikataan kahteen osaan. Yksi kappaleista käytetään neliön kehän muodostamiseen?

Vastaus:

# "Pienin kokonaispinta-ala = 10,175 cm²."

# "Suurin kokonaispinta-ala = 25 cm²." #

Selitys:

# "Nimi x palan pituus neliön muodostamiseksi." #

# "Sitten neliön alue on" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Kolmion ympärysmitta on" 20-x "." #

# "Jos y on yksi kolmion samanarvoisista puolista, niin meillä on" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => alue = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Kokonaispinta-ala =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Tämä on paraboli ja parabolin vähimmäismäärä" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "on" x = -b / (2 * a) ", jos a> 0." #

# "Maksimi on" x-> oo ", jos a> 0." #

# "Joten minimi on" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Kokonaispinta-ala =" 10,175 "cm²." #

# "Maksimi on joko x = 0 tai x = 20." #

# "Tarkistamme alueen:" #

# "Kun" x = 0 => "alue =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Kun" x = 20 => "alue =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Niinpä suurin kokonaispinta-ala on 25 cm²." #

Vastaus:

Minimialue on #10.1756# ja maksimi on #25#

Selitys:

Sivuttaisen suorakulmaisen tasakylkisen kolmion kehä # A # on # A + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # ja sen alue on # ^ 2/2 #,

Olkoon yksi pala # X # cm. josta muodostamme suorakulmaisen tasakylkisen kolmion. On ilmeistä, että oikean kulman muotoinen tasakylkinen kolmio olisi # X / (2 + sqrt2) # ja sen alue olisi

# X ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (X ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Toisen merkkijonon kehä, joka muodostaa neliön, on # (20-x) # ja neliön puolella on # (20-x) / 4 # sen alue on # (20-x) ^ 2/16 # ja kokonaispinta-ala # T # näistä kahdesta on

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Huomaa, että # 3-2sqrt2> 0 #, joten kerroin on # X ^ 2 # on positiivinen ja siksi meillä on minimit ja voimme kirjoittaa # T # kuten

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x +25 #

= # 0,1054 (x ^ 2-23.7192x + (11,8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11,8596) ^ 2 #

= # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

Kuten # 0,1054 (x-11,8596) ^ 2 # on aina positiivinen, meillä on vähimmäisarvo # T # kun # X = 11,8596 #.

Huomaa, että ensisijaisesti toiminnolle ei ole enimmäismäärää, vaan arvona # X # on välillä #0,20#, ja milloin # X = 0 #, meillä on # T = 0,1054 (0-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10,1756 = 25 #

ja milloin # X = 20 # kun # T = 0,1054 (20-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10,1756 = 17,16 #

ja siten maxima on #25#

kaavio {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}