Kumpi seuraavista on enimmäismäärä todellisia juuria?

Vastaus:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # kanssa #4# todelliset juuret.

Selitys:

Huomaa, että:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

ovat osa kahden yhtälön juurien liitosta:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (ax ^ 2-bx + c = 0):} #

Huomaa, että jos yhdellä näistä yhtälöistä on pari todellista juuria, niin niin toinen tekee, koska niillä on sama syrjivä:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Muista myös, että jos #a, b, c # kaikilla on sama merkki # ax ^ 2 + b abs (x) + c # ottaa aina merkin arvot kun # X # on todellinen. Niinpä meidän esimerkissämme # A = 1 #, voimme heti huomata, että:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

niin ei ole nollia.

Katsotaanpa kolme muuta yhtälöä vuorotellen:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x {-2, 1}):} #

Yritämme jokaisen näistä ratkaisuista #x kohdassa {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) => x {-1, -2}):} #

Kokeilemalla näitä kaikkia löydämme kaikki alkuperäisen yhtälön ratkaisut, ts. #x kohdassa {-2, -1, 1, 2} #

Vaihtoehtoinen menetelmä

Huomaa, että todelliset juuret # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (missä #c! = 0 #) ovat positiivisia todellisia juuria # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Joten löytää, mitkä annetuista yhtälöistä on kaikkein todellisimmat juuret, vastaa sitä, että vastaavista tavallisista kvadratiyhtälöistä löytyy kaikkein positiivisimmat todelliset juuret.

Kvadraattisella yhtälöllä, jolla on kaksi positiivista todellista juuria, on merkkejä kuviosta #+ - +# tai #- + -#. Esimerkissämme ensimmäinen merkki on aina positiivinen.

Esitetyistä esimerkeistä vain toisella ja kolmannella on kertoimet kuviossa #+ - +#.

Voimme alentaa toisen yhtälön # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # koska sen diskantti on negatiivinen, mutta kolmannen yhtälön osalta:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

on kaksi positiivista todellista juuria, jotka tuottavat #4# yhtälön juuret # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #