Oikean kolmion suurin puoli on ^ 2 + b ^ 2 ja toinen puoli on 2ab. Mikä ehto tekee kolmannesta sivusta pienimmän puolen?

Vastaus:

Kolmas puoli on mahdollisimman lyhyt # (1 + sqrt2) | b |> ABSA> absb # (ja tuo # A # ja # B # on sama merkki).

Selitys:

Oikean kolmion pisin sivu on aina hypotenuus. Joten tiedämme, että hypotenuksen pituus on # ^ 2 + b ^ 2. #

Anna tuntemattoman sivupituuden olla # C. # Sitten me tiedämme Pythagorean lauseesta

# (2AB) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

tai

# C = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2AB) ^ 2) #

#COLOR (valkoinen) c = sqrt (a ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #

#COLOR (valkoinen) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#COLOR (valkoinen) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #

#COLOR (valkoinen) c = a ^ 2-b ^ 2 #

Vaadimme myös, että kaikki sivupituudet ovat positiivisia

• # ^ 2 + b ^ 2> 0 #

  # => a! = 0 tai b! = 0 #

• # 2AB> 0 #

  # => a, b> 0 tai a, b <0 #

• # C = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

  # <=> ^ 2> b ^ 2 #

  # <=> ABSA> absb #

Nyt, sillä minkä tahansa kolmio, pisin sivu on pakko olla lyhyempi kuin summa kaksi muuta puolta. Joten meillä on:

#color (valkoinen) (=>) 2ab + "" c väri (valkoinen) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab väri (valkoinen) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "," jos b> 0), (a <b "," jos b <0):} #

Lisäksi, jotta kolmas puoli olisi pienin, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

tai # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # tai # a-b <sqrt2b # tai #a <b (1 + sqrt2) #

Yhdistämällä kaikki nämä rajoitukset voimme päätellä, että jotta kolmas puoli olisi mahdollisimman lyhyt, meidän on oltava # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb ja (a, b <0 tai a, b> 0).