Kysymys # 059f6

Vastaus:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Selitys:

Taylorin toiminnan kehittäminen # F # at # A # on #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Muista, että se on tehosarja, joten se ei välttämättä lähene # F # tai jopa lähentyä jonnekin muualle kuin # X = a #.

Tarvitsemme ensin # F # jos haluamme yrittää kirjoittaa todellisen kaavan Taylor-sarjassaan.

Laskelman ja induktiotodistuksen jälkeen voimme sanoa sen #AAk NN: ssä: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # ja #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Joten karkean ja pienen yksinkertaistamisen jälkeen näyttää siltä, että Taylorin sarja # F # on #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.