Olkoon S yksikön pinta-ala. Harkitse mitä tahansa nelikulmiota, jossa on yksi kärki S.: n kummallakin puolella. Jos a, b, c ja d merkitsevät nelikulmion sivujen pituuksia, todista, että 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4?

Päästää # ABCD # olla neliön pinta-ala.

Niin # AB = BC = CD = JM = 1 # yksikkö.

Päästää # PQRS # olla nelikulmainen, jossa on yksi piste neliön kummallakin puolella. Täällä anna # PQ = b, QR = c, RS = dandSP = a #

Pythagoras torem -sovelluksen avulla voimme kirjoittaa

# ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2 + (1-x) ^ 2 + (1-w) ^ 2 + w ^ 2 + (1-z) ^ 2 + z ^ 2 + (1-y) ^ 2 #

# = 4 + 2 (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 (1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + w ^ 2-x-y-z-w) #

# = 2 + 2 ((x-1/2) ^ 2 + (y-puoli) ^ 2 + (z-1/2) ^ 2 + (w-puoli) ^ 2) #

Nyt ongelma meillä on

# 0 <= x <= 1 => 0 <= (x-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= y <= 1 => 0 <= (y-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= z <= 1 => 0 <= (z-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

# 0 <= w <= 1 => 0 <= (w-1/2) ^ 2 <= 1/4 #

Siten

# 2 <= a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 <= 4 #