Mikä ero on antiderivatiivin ja integraalin välillä?

Eroja ei ole, nämä kaksi sanaa ovat synonyymejä.

Se riippuu pari asiaa. Mikä antiväline, yleinen tai tietty? joka on kiinteä tai rajoittamaton? Ja ketä me pyydämme?

Yleinen antivälitteinen ja määrittelemätön integrointi:

Monet matemaatikot eivät erota määrittelemätöntä integraalia ja yleistä antivivaatiota. Kummassakin tapauksessa toiminto # F # vastaus on #F (x) + C # missä #F '(x) = f (x) #..

Jotkut (esimerkiksi oppikirjan kirjoittaja James Stewart) tekevät eron. Mitä Stewart viittaa "yleisimpään" antiversiona # F #, hyväksyy erilaiset vakiot jokaiselle diskontiniteetille # F #. Hän vastaisi esimerkiksi siihen, että yleisin antiversion # 1 / x ^ 2 # on osittain määritelty toiminto:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # varten #X <0 # ja # (- 1) / x + C_2 # varten #X> 0 #.

Määrittelemätön integraali # F #tässä käsittelyssä on aina antivivaattori jonkin aikaa, jona # F # on jatkuva.

Niin #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, jossa ymmärretään, että verkkotunnus on rajoitettu johonkin positiivisten realien alaryhmään tai negatiivisten realien alaryhmään.

Erityiset johdannaiset

Erityinen antiderivatiivi # F # on toiminto # F # (eikä funktioiden perhe), jolle #F '(x) = f (x) #.

Esimerkiksi:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # varten #X <0 # ja # (- 1) / x + 1 # varten #X> 0 #.

on erityinen antidervatiivi #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Ja:

#G (x) = (- 1) / x-3 # varten #X <0 # ja # (- 1) / x + 6 # varten #X> 0 #.

on erilainen erityinen antidervatiivi #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Ehdottomat integraalit

Selkeä integraali # F # alkaen # A # että # B # ei ole toiminto. Se on numero.

Esimerkiksi:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Ongelmien monimutkaisuuden lisäämiseksi tämä selvä integraali löytyy käyttämällä Calculuksen perustekijää, osa 2, etsimällä ensin / määrittelemätön integraali / yleinen antiderivatiivi, sitten tekemällä somearitmeettinen.)

Kysymyksesi liittyy siihen, mikä oli todella keskeinen näkemys Isaac Newtonin ja Gottfried Leibnizin laskennassa.

Keskitytään toimintoihin, jotka eivät ole koskaan negatiivisia, tämä käsitys voidaan muotoilla seuraavasti: "Johdannaisia voidaan käyttää löytö alueita (integraaleja) ja alueita (integraaleja) voidaan käyttää määritellä Tämä on Calculuksen perusperiaatteen ydin.

Huolimatta Riemannin summista (loppujen lopuksi Bernhard Riemann asui lähes 200 vuotta Newtonin ja Leibnizin jälkeen) ja otti alueen käsitteen intuitiiviseksi (määrittelemättömäksi) konseptiksi jatkuvalle ei-negatiiviselle toiminnalle #f (x) geq 0 # kaikille # X # kanssa #aq xAjattele vain kiinteää symbolia #__ {a} ^ {b} f (x) dx # edustavat aluetta kaavion alla # F # ja sen yläpuolella # X #- välissä # X = a # ja # X = b #. Jos toinen toiminto # F # löytyy niin, että #F '(x) = f (x) # kaikille #aq xsitten # F # on nimeltään # F # aikana # A, b # ja ero #F (b) F (a) # vastaa määritellyn integraalin arvoa. Tuo on, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Tämä seikka on hyödyllinen havainto määritellyn integraalin (alueen) arvo, kun on löydettävissä antiderivatiivin kaava.

Päinvastoin, jos teemme integraalisen symbolin ylärajan muuttujaksi, soita siihen # T #ja määritä toiminto # F # kaavan mukaan #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (niin #F (t) # on todellakin alueen kaavio # F # välillä # X = a # ja # X = t #, olettaen #aq t t), sitten tämä uusi toiminto # F # on hyvin määritelty, eriytettävä ja #F '(t) = f (t) # kaikki numerot # T # välillä # A # ja # B #. Olemme käyttäneet olennaisia asioita määritellä antivolivaattori # F #. Tämä seikka on hyödyllinen antivivatiivisen aineen arvojen lähentämisessä, kun sitä ei löydy kaavasta (käyttäen numeerisia integraatiomenetelmiä, kuten Simpsonin sääntöä). Tilastotieteilijät käyttävät sitä esimerkiksi koko ajan lähentämällä Normaalin käyrän alapuolella olevia alueita. Normaalin normaalin käyrän erityisen antivivaattorin arvot annetaan usein tilastokirjojen taulukossa.

Siinä tapauksessa, missä # F # sillä on negatiivisia arvoja, lopullinen integraali on ajateltava "allekirjoitettujen alueiden" osalta.