Ratkaise tämä käyttämällä riemannin integraalia?

Vastaus:

# {{{q} {e ^ pi}} {e ^ 2} # tai # 1.302054638 … #

Selitys:

Yksi tärkeimmistä identiteeteistä minkä tahansa ongelman ratkaisemiseksi äärettömän tuotteen kanssa on muuntaa se äärettömien summien ongelmaksi:

# pr_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

Painotukset:

# = exp summa_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Mutta ennen kuin voimme tehdä tämän, meidän on ensin käsiteltävä yhtälössä # fr {1} {n ^ 2} ja btw kutsutaan ääretön tuote L:

# L = rajoitettu_ {n} + viikko} fr {1} {n ^ 2} tuoten_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {fr {1} {n}} #

# = rajoitettu_ {n} + viikko} fr {1} {n ^ 2} tuoten_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {{{}}

# = lim_ {n + + ykkös} fr {n ^ 2} {n ^ 2} tuoten_ {k = 1} ^ {n} (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {fr {1} {n}} = lim_ {n + + ykkös} pr__ {k = 1} ^ {n} (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {fr {1} {n}} #

Nyt voimme muuntaa tämän äärettömään summaan:

# L = Lim_ {n ja + viikko} tuoten_ {k = 1} ^ {n} (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {fr {1} {n} } = lim_ {n + + ty} exp summa_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {{{}} {n}}) #

soveltaa logaritmin ominaisuuksia:

# L = lim_ {n - + pituus} exp summa_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

Ja käyttämällä rajaominaisuuksia:

# L = exp lim_ {n + +) }_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Kutsumme ääretön summa S:

# S = lim_ {n ja + viikko} sum_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Ja pidä mielessä, että

# L = exp (S) #

Nyt ratkaistaan kysymys muuntamalla se osoitteesta a RIEMANN SUM arvoon a DEFINITE INTEGRAL:

Muista, että Riemann-summan määritelmä on:

Painotukset:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n = + tiheä} summa_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (fr {ba} {n })) * fr {ba} {n} #

Päästää

# {{= {}} {n} f (a + k (fr {ba} {n})) * fr {ba} {n} = {n = + viikko} sum_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Anna nyt # f (x) = ln (1 + x ^ 2) ja a = 0 #

# f (k (fr {b} {n})) = ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Täten b = 1, ts.

# f (fr {k} {n}) = ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Siksi,

# S = lim_ {n ja + viikko} sum_ {k = 1} ^ {n} fr {1} {n} * ln (1+ fr {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ratkaise #__ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

käytä integrointia osien avulla:

int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Päästää # u = ln (1 + x ^ 2) ja v = 1 #

Käytä sitten ketjun sääntöä ja luonnollisen logaritmin johdannaista # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = fr {2x} {1 + x ^ 2} #

ja käytä tehosääntöä saadaksesi: # 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (fr {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - x {2 ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 fr {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 fr {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx Käytä vähennyssääntöä:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 fr {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - fac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - fac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Käytä ensimmäistä integraalia käyttävää tehosääntöä ja toinen integraali on vakio trigonometrinen toiminto # arctan (x) # (tangenttitoiminnon käänteinen)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Täten, # intln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Nyt ratkaise lopullinen integraali:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

tiedämme, että derivaatan on # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Täten

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

Huomaa, että arctan (1) on 45 ° tai # {{}} {4} # (palauta oikea oikea kolmio, jonka sivupituus on 1,1, # Sqrt {2} # ja kulmat 45 °, 45 °, 90 °) ja myös # arctan (0) = 0 #

Täten # S = ln (2) - 2 + 2 (fr {p} {4}) = 1 (2) - 2 + fr {{}}.

tai # 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + fr {pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ {fr { {}}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 qrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Siksi ratkaisu on # {{{}} {{{}}} {{{}}} {{{}} }} = fr {2 qrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # tai # 1.302054638 … #