Vastaus:
Vihje 1: Oletetaan, että hän yhtälö # x ^ 2 + x-u = 0 # kanssa # U # kokonaisluvulla on kokonaisluku # N #. Näytä se # U # on tasan.
Selitys:
Jos # N # on ratkaisu, jossa on kokonaisluku # M # niin että
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Missä #nm = u # ja # m-n = 1 #
Mutta toinen yhtälö merkitsee sitä #m = n + 1 #
Nyt molemmat # M # ja # N # ovat kokonaislukuja, joten yksi niistä # N #, # N + 1 # on tasainen ja #nm = u # on tasan.
ehdotus
Jos # U # on pariton kokonaisluku, sitten yhtälö # x ^ 2 + x - u = 0 # ei ole ratkaisua, joka on kokonaisluku.
Todiste
Oletetaan, että on olemassa kokonaisluku ratkaisu # M # yhtälöstä:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
missä # U # on pariton kokonaisluku. Meidän on tutkittava kaksi mahdollista tapausta:
# M # on outoa; tai
# M # on tasan.
Tarkastellaan ensin tapausta, jossa # M # on pariton, niin on olemassa kokonaisluku # K # siten, että:
# m = 2k + 1 #
Siitä lähtien # M # on yhtälömme perusta, on oltava, että:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
Ja meillä on ristiriita, kuten # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # on tasainen, mutta # U # on outoa.
Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, jossa # M # on tasainen, niin on olemassa kokonaisluku # K # siten, että:
# m = 2k #
Samoin # M # on yhtälömme perusta, on oltava, että:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
Ja jälleen, meillä on ristiriita, kuten # 2 (2k ^ 2 + k) # on tasainen, mutta # U # on outoa.
Niinpä olemme osoittaneet, että yhtälöstä ei ole kokonaislukuista ratkaisua # x ^ 2 + x - u = 0 # missä # U # on pariton kokonaisluku.
Näin ollen ehdotus on osoitettu. QED
Vastaus:
Katso alempaa.
Selitys:
Jos # X ^ 2 + x-u = 0 # sitten
#x (x + 1) = u # sitten jos # X # on kokonaisluku, #x (x + 1) # on tasainen, koska se on ristiriita, koska # U # hypoteesin mukaan on outoa.
