Tiedetään, että yhtälöllä bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 on yksi todellinen juuri. Todista, että yhtälöllä x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 ei ole todellisia juuria.

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

Juuret # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # olemme

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Juuret ovat sattumaa ja todellisia, jos

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

tai

# A = b # tai #a = 5b #

Nyt ratkaiseminen

# X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # meillä on

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Monimutkaisten juurien ehto on

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

nyt #a = b # tai #a = 5b # meillä on

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Lopuksi, jos # Bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # Silloin on sattumaa todellisia juuria # X ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # on monimutkaisia juuria.

Meille annetaan, että yhtälö:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

on yksi todellinen juuri, joten tämän yhtälön syrjivä on nolla:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, tai # a = 5b #

Pyrimme näyttämään yhtälön:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

ei ole todellisia juuria. Tämä edellyttäisi negatiivista syrjintää. Tämän yhtälön syrjivä tekijä on:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Tarkastellaan nyt kahta mahdollista tapausta, jotka täyttävät ensimmäisen yhtälön:

Tapaus 1: # A = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# # 0

Tapaus 2: # A = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# # 0

Näin ollen ensimmäisen yhtälön olosuhteet ovat sellaiset, että toisella yhtälöllä on aina negatiivinen syrjivä ja siksi sillä on monimutkaisia juuria (eli ei todellisia juuria), QED