Vastaus:
Katso alla.
Selitys:
(I) Kuten meillä on # ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, mikä tarkoittaa sitä, että kahden sivun neliöiden summa # A # ja # B # on yhtä suuri kuin neliö kolmannella puolella # C #. Siten, # / _ C # vastakkainen puoli # C # on oikea kulma.
Oletetaan, että se ei ole niin, vedä sitten kohtisuorassa # A # että # BC #, anna sen olla # C #. Nyt Pythagoras-lauseen mukaan # ^ 2 + b ^ 2 = (AC) ^ 2 #. Siten, # AC '= c = AC #. Mutta tämä ei ole mahdollista. Siten, # / _ ACB # on oikea kulma ja #Delta ABC # on suorakulmainen kolmio.
Muistakaamme koliinien kosinikaavan, joka sanoo # C ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2abcosC #.
(Ii) Koska alue on # / _ C # on # 0 ^ @ <C <180 ^ @ #, jos # / _ C # on tylsä # COSC # on negatiivinen ja siten # C ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab | COSC | #. Siten, # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 # välineet # / _ C # on tylsä.
Käytetään Pythagoras-teemaa tarkistamaan ja piirtämään # DeltaABC # kanssa # / _ C> 90 ^ @ # ja piirtää # AO # kohtisuorassa laajennettuna # BC # kuten on esitetty. Nyt Pythagoras-lauseen mukaan
# ^ 2 + b ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #
= # (BO-OC) ^ 2 + AC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + OC ^ 2-2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + AO ^ 2-2OC (BO-OC) #
= # AB ^ 2-2OCxxBC = C ^ 2-OCxxBC #
Siten # a ^ 2 + b ^ 2 <c ^ 2 #
(Iii) ja jos # / _ C # on akuutti # COSC # on positiivinen ja siten # C ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab | COSC | #. Siten, # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 # välineet # / _ C # on akuutti.
Jälleen käyttämällä Pythagoras-teemaa tarkistaaksesi tämän, piirrä # DeltaABC # kanssa # / _ C <90 ^ @ # ja piirtää # AO # kohtisuorassa # BC # kuten on esitetty. Nyt Pythagoras-lauseen mukaan
# ^ 2 + b ^ 2 = BC ^ 2 + AC ^ 2 #
= # (BO + OC) ^ 2 + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # BO ^ 2 + OC ^ 2 + 2BOxxCO + AO ^ 2 + OC ^ 2 #
= # AB ^ 2 + 2OC (CO + OB) #
= # C ^ 2 + 2axxOC #
Siten # a ^ 2 + b ^ 2> c ^ 2 #
