Vastaus:
Aloita
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - s (xy) #
Korvaa sekantti kosinilla.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Nyt otamme johdannaisen wrt x BOTH SIDES!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
Vakion johdannainen on nolla ja johdannainen on lineaarinen!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Nyt käytät tuotesääntöä vain kahdella ensimmäisellä termillä, jotka saamme!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Seuraavat erät ja paljon hauskaa ketjun säännöllä! Katso viimeinen termi!
(tekee myös yksinkertaisia x-johdannaisia)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Joidenkin y-johdannaisten, xy-johdannaisten ja cos (xy) -johdannaisten tekeminen myös tuotesääntöjen ja ketjun hallitsemiseksi jatkuvat vielä kerran viimeisen aikavälin viimeisellä osalla.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Pese hieman ja lopeta kaikki johdannaiset
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Nyt erotella aikavälillä # Dx / dy # ja ilman
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y s (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Tuo aina pois # Dy / dx # toiselle puolelle ja kokoelma toisistaan
# y (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x s (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Jaa vaikka löytää # Dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Se oli hyvin pitkä!
Selitys:
Kävimme hyvin pitkällä selityksellä yksinkertaisella esimerkillä, koska implisiittinen eriyttäminen voi olla hankalaa ja ketjun säännöt ovat erittäin hyvin tärkeitä.
Sinun on käytettävä noin kolme BIG Calculus -sääntöä ratkaistaaksesi tämän ja kolme erityistä funktion johdannaista.
1) Johdannaisen lineaarisuus.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) Tuotesääntö.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Kaikkein tärkein käsite implisiittisessä erottelussa on
ketjun sääntö. Yhdistelmätoiminnot, muiden toimintojen toiminnot, #f (u (x)) # meillä on, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Voit jatkaa tätä
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, ja päällä ja päällä. Huomautus # Dx / dx = 1 #.
Esimerkki: Jos käytössä on toiminto #F (u) # missä # U # on hauskaa # X #. eli #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Tässä #F (u) = sqrt (u) # ja #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # palauttaa mieleen # U = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Lausekkeet tiettyjä toimintoja varten.
A) Miten tehotoimintojen johdannainen otetaan, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Miten otetaan johdannainen # E ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- tylsää?
C) Miten otetaan johdannainen # cos (x) # koska # (x) = 1 / {cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
Avain implisiittiseen erotteluun on käyttää ketjun sääntöä ottamaan sekä x: n että y: n johdannainen w ja x, kuten ympyrä.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
