Miten voit ratkaista järjestelmän x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ja x-3y = 3?

Vastaus:

Tähän järjestelmään on kaksi ratkaisua: pisteet #(3,0)# ja #(-12/5, -9/5)#.

Selitys:

Tämä on mielenkiintoinen yhtälöiden ongelma, koska se tuottaa enemmän kuin yhden ratkaisun muuttujaan.

Miksi näin tapahtuu, voimme analysoida juuri nyt. Ensimmäinen yhtälö on vakiolomake ympyrälle, jonka säde on #3#. Toinen on hieman sotkuinen yhtälö linjalle. Puhdistettu, se näyttää tältä:

#y = 1/3 x - 1 #

Joten luonnollisesti, jos katsomme, että ratkaisu tähän järjestelmään on kohta, jossa linja ja ympyrä leikkaavat, meidän ei pitäisi olla yllättynyt siitä, että on olemassa kaksi ratkaisua. Yksi, kun viiva tulee ympyrään, ja toinen, kun se lähtee. Katso tämä kaavio:

kaavio {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Aluksi aloitamme manipuloimalla toista yhtälöä:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Voimme lisätä tämän suoraan ratkaistavaan ensimmäiseen yhtälöön # Y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

On selvää, että tällä yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Yksi niistä #y = 0 # ja toinen # 9 + 5y = 0 # joka tarkoittaa #y = -9 / 5 #.

Nyt voimme ratkaista # X # kussakin näistä # Y # arvot.

Jos # Y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Jos #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Joten kaksi ratkaisumme ovat kohtia: #(3,0)# ja #(-12/5, -9/5)#. Jos katsot taaksepäin kuvaajan, näet, että ne vastaavat selvästi kahta pistettä, jossa viiva ylitti ympyrän.