Olkoon P (x_1, y_1) piste ja anna l olla linja yhtälön ax + kanssa + c = 0.Näytä etäisyys d P-> l: ltä: d = (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)? Etsi pisteen P (6,7) etäisyys d rivistä l yhtälöllä 3x + 4y = 11?

Vastaus:

#d = 7 #

Päästää # l-> a x + by + c = 0 # ja # p_1 = (x_1, y_1) # piste ei ole päällä # L #.

Oletetaan, että #b ne 0 # ja kutsutaan # D ^ 2 = (x-x_1) ^ 2 + (y-y_1) ^ 2 # korvaamisen jälkeen #y = - (a x + c) / b # osaksi # D ^ 2 # meillä on

# d ^ 2 = (x - x_1) ^ 2 + ((c + a x) / b + y_1) ^ 2 #. Seuraava vaihe on löytää # D ^ 2 # vähintään # X # niin löydämme # X # niin että

# d / (dx) (d ^ 2) = 2 (x - x_1) - (2 a ((c + a x) / b + y_1)) / b = 0 #. Tämä tapahtuu

#x = (b ^ 2 x_1 - a b y_1-a c) / (a ^ 2 + b ^ 2) # Korvaa nyt tämä arvo # D ^ 2 # saamme

# d ^ 2 = (c + a x_1 + b y_1) ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) # niin

#d = (c + a x_1 + b y_1) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #

Nyt annetaan

# L-> 3x + 4y-11 = 0 # ja # P_1 = (6,7) # sitten

#d = (-11 + 3xx6 + 4xx7) / sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = 7 #