Vastaus:
# X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #
Selitys:
Koska tällä kvartsilla ei ole järkeviä juuria (ja en voi häiritä kaavoja), aloitamme käyttämällä Newtonin menetelmää juurien lähentämiseksi:
# X ~~ -0,303 #
# X ~~ -0,618 #
# X ~~ 1,618 #
# X ~~ 3,303 #
Näistä löydämme sen # X ~~ -0,618 # ja # X ~~ 1,618 # erottua joukosta. Tunnistamme ne kultaisena suhteena:
# X = (1 + -sqrt5) / 2 #
Voimme myös varmistaa, että ne ovat juuria liittämällä ne yhtälöön, mutta voitte vain sanoa, että ne ovat todella juuret.
Tämä tarkoittaa, että yhtälön tekijä on seuraava:
# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #
# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #
# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #
# = X ^ 2-x-1 #
Koska tiedämme # X ^ 2-x-1 # on tekijä, voimme käyttää polynomin pitkää jakoa selvittääksesi loput ja kirjoittaa yhtälön uudelleen näin:
# (X ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #
Olemme jo huomanneet, kun vasen tekijä on nolla, joten katsomme nyt oikealle. Voimme ratkaista neliöllisen käyttämällä kvadraattista kaavaa saadaksesi:
# X = (3 + -sqrt13) / 2 #
