X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (factorise)?

Vastaus:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (X ^ 2- (alfa + bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2 barin (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2o + omegabar (alfa)) x + 2) #

kuten alla kuvataan …

Selitys:

Varoitus:

Tämä vastaus saattaa olla edistyneempi kuin odotetaan.

Huomautuksia

On mahdollista yksinkertaistaa ja löytää:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alfa) = -1 #

mutta minulle ei ole (vielä) selvää, miten parhaiten tehdä tämä.

Vastaus:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Selitys:

Tässä on yksinkertaisempi menetelmä …

Ottaen huomioon:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Etsi lomakkeen tekijä:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = X ^ 6 + (alfa + beta gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + beta gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alfa + beta gamma) x + 8 #

Vastaavat kertoimet löytyvät:

# {(alfa + beeta + gamma = 0), (aakkoset + betagamma + gammaalpha = -6), (aakkosetagma = -5):} #

Niin #alpha, beeta, gamma # ovat kuutiometrin nollia:

# (X-alfa) (x-beeta) (x-gamma) #

# = X ^ 3- (alfa + beta gamma) x ^ 2 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = X ^ 3-6x + 5 #

Huomaa, että tämän kuutiometrin kertoimien summa on #0#. Tuo on #1-6+5 = 0#.

Siten # X = 1 # on nolla ja # (X-1) # tekijä:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Jäljellä olevan neliösumman nollat löytyvät käyttämällä neliökaavaa:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Niin # {alfa, beeta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Niin:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Bonus

Voimmeko yleistää edellä mainitun johdannaisen?

# X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (X ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = X ^ 6 + (alfa + beta gamma) x ^ 5 + (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alphabeta + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta gamma) x + q ^ 3 #

Yhtälökertoimet:

# {(alfa + beeta + gamma = 0), (aakkoset + betagamma + gammaalpha = -3q), (aakkosetagamma = p):} #

Siten #alpha, beeta, gamma # ovat nollia:

# X ^ 3-3qx-p #

Joten jos löydämme kolme tämän kuutiometrin todellista nollaa, niin meillä on sexticin faktorisointi # X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # kolmeen kvadratiikkaan, joissa on todellisia kertoimia.