Mikä on ominaisvektori? + Esimerkki

Vastaus:

Jos vektori on # V # ja vektoritilan lineaarinen muuntaminen # A # ovat sellaisia, että #A (v) = k * v # (missä vakio # K # kutsutaan ominaisarvotehtävä), # V # sitä kutsutaan nimellä ominaisvektori lineaarisen transformaation # A #.

Selitys:

Kuvittele lineaarinen muutos # A # kaikkien vektorien venyttäminen #2# kolmiulotteisessa tilassa. Mikä tahansa vektori # V # muutetaan # 2v #. Siksi tähän muunnokseen kaikki vektorit ovat ominaisvektorit kanssa ominaisarvotehtävä of #2#.

Harkitse kolmiulotteisen tilan pyörimistä Z-akselin ympäri kulmalla # 90 ^ O #. On selvää, että kaikki vektorit, lukuun ottamatta niitä, jotka ovat Z-akselin varrella, muuttavat suuntaa ja eivät siten voi olla ominaisvektorit. Mutta nämä vektorit Z-akselin varrella (niiden koordinaatit ovat muotoa # 0,0, z #) säilyttää niiden suunnan ja pituuden, joten ne ovat ominaisvektorit kanssa ominaisarvotehtävä of #1#.

Lopuksi harkitse kiertoa # 180 ^ O # Kolmiulotteisessa tilassa Z-akselin ympärillä. Kuten aikaisemmin, kaikki vektorit pitkät Z-akselit eivät muutu, joten ne ovat ominaisvektorit kanssa ominaisarvotehtävä of #1#.

Lisäksi kaikki vektorit XY-tasossa (niiden koordinaatit ovat muotoa # X, y, 0 #) muuttaa suunnan vastakkaiseen suuntaan, samalla kun pidät pituuden. Siksi he ovat myös ominaisvektorit kanssa ominaisarvot of #-1#.

Mikä tahansa vektoritilan lineaarinen muunnos voidaan ilmaista vektorin kertomiseksi matriisilla. Esimerkiksi ensimmäinen esimerkki venytyksestä kuvataan kertomiseksi matriisilla # A #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Tällainen matriisi kerrotaan millä tahansa vektorilla # V = {x, y, z} # tuottaa # A * v = {2x, 2y, 2z} #

Tämä on ilmeisesti sama # 2 * v #. Joten meillä on

# A * v = 2 * v #, joka osoittaa, että mikä tahansa vektori # V # on ominaisvektori kanssa ominaisarvotehtävä #2#.

Toinen esimerkki (pyörittäminen # 90 ^ O # Z-akselin ympäri) voidaan kuvata kertomiseksi matriisilla # A #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Tällainen matriisi kerrotaan millä tahansa vektorilla # V = {x, y, z} # tuottaa # A * v = {- y, x, z} #, jossa voi olla sama suunta kuin alkuperäisellä vektorilla # V = {x, y, z} # vain jos # X = y = 0 #, eli jos alkuperäinen vektori on suunnattu Z-akselia pitkin.