Kysymys # 92256

Vastaus:

Katso selitys

Selitys:

Katkaise tämä kahteen osaan, ensinnäkin sisäosaan:

# E ^ x #

Tämä on positiivinen ja kasvaa kaikille todellisille numeroille ja menee 0: sta # Oo # kuten # X # menee # -Oo # että # Oo #

Meillä on:

#arctan (u) #

Tällä on oikea horisontaalinen asymptootti osoitteessa # Y = pi / 2 #. Lähdetään # u = 0 rarr oo #, at # U = 0 # tämä toiminto on positiivinen ja kasvaa tällä verkkotunnuksella # U = 0 #, arvo # Pi / 4 # at # U = 1 # ja arvo # Pi / 2 # at # U = oo #.

Siksi nämä pisteet vedetään # X = -oo, 0, oo # vastaavasti, ja lopputuloksena on graafi, joka näyttää näin:

kaavio {arctan (e ^ x) -10, 10, -1,5, 3}

Mikä on myönteinen osa # Arctan # Toiminto venyy koko todellisen linjan yli vasemman arvon ollessa venytetty vaakasuoraan asymptoottiin # Y = 0 #.

Vastaus:

Katso selitys

Selitys:

verkkotunnuksen on # RR #

Symmetria

Ei myöskään suhteessa # X # akseli eikä alkuperää.

#arctan (e ^ (- x)) # ei yksinkertaista #arctan (e ^ x): #

eikä # -Arctan (e ^ x): #

kuuntelevansa

# X # sieppaukset: ei mitään

Emme voi saada #y = 0 # koska se vaatisi # e ^ x = 0 #

Mutta # E ^ x # ei ole koskaan #0#, se vain lähestyy #0# kuten # Xrarr-oo #.

Niin, # Yrarr0 # kuten # Xrarr-oo # ja # X # akseli os vaaka

asymptootti vasemmalla.

# Y # siepata: # Pi / 4 #

Kun # X = 0 #, saamme #y = arctan (1) = pi / 4 #

asymptoottia:

Pystysuora: ei

# Arctan # on välissä # Pi / 2 # ja # Pi / 2 # ei siis koskaan mene # Oo #

Vaaka:

vasen: # Y = 0 # kuten edellä on kuvattu

Oikea: # Y = pi / 2 #

Tiedämme sen, kuten # Thetararrpi / 2 # kanssa #theta <pi / 2 #, saamme #tantheta rarr oo #

niin, kuten # Xrarroo #, saamme # e ^ x rarroo #, niin # y = arctan (e ^ x) rrr pi / 2 #

Ensimmäinen johdannainen

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # ei ole koskaan #0# eikä koskaan määrittelemättä, joten kriittisiä numeroita ei ole.

Jokaiselle # X # meillä on #y '> 0 # joten toiminto kasvaa # (- oo, oo) #

Paikallista äärirajaa ei ole.

Toinen johdannainen

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (E ^ x (1-e ^ (2 x))) / (1 + e ^ (2 x)) ^ 2 #

#y '' # ei ole koskaan määritelty, ja se on #0# at # X = 0 #

Merkki #y '' #:

Päällä # (- oo, 0) #, saamme # e ^ (2x) <1 # niin #y ''> 0 # ja kaavio on kovera ylöspäin

Päällä # (0, oo) #, saamme # e ^ (2x)> 1 # niin #y '' <0 # ja kaavio on kovera alas

Koveruus muuttuu kohdassa # X = 0 #, joten kääntöpiste on:

# (0, pi / 4) #

Luo nyt kaavio