Mitä ratkaisuja on (z-1) ^ 3 = 8i?

Vastaus:

#z {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Selitys:

Tätä ongelmaa varten meidän on tiedettävä, miten löytää # N ^ "th" # monimutkaisen luvun juuret. Tätä varten käytämme identiteettiä

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Tämän identiteetin takia voimme edustaa mitä tahansa kompleksilukua

# a + bi = Re ^ (itheta) # missä #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # ja #theta = arctan (b / a) #

Nyt käymme läpi vaiheet löytääksesi # 3 ^ "rd" # monimutkaisen luvun juuret # A + bi #. Vaiheet, joilla etsitään # N ^ "th" # juuret ovat samanlaisia.

tietty # a + bi = Re ^ (itheta) # Etsimme kaikkia monimutkaisia numeroita # Z # niin että

# z ^ 3 = uudelleen (itheta) #

Kuten # Z # on monimutkainen numero, on olemassa # R_0 # ja # Theta_0 # niin että

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Sitten

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Tästä meillä on heti # R_0 = R ^ (1/3) #. Voimme myös rinnastaa # E #, mutta huomauttaa, että sini ja kosinus ovat jaksottaisia # 2pi #, sitten alkuperäisestä henkilöllisyydestä # E ^ (itheta) # on myös. Sitten meillä on

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # missä #k ZZ: ssä

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # missä #k ZZ: ssä

Kuitenkin ikään kuin lisäisimme # 2pi # Yhä uudestaan, päädymme samoihin arvoihin, voimme jättää tarpeettomat arvot lisäämällä rajoituksen # theta_0 vuonna 0, 2pi #, tuo on, #k {0, 1, 2} #

Yhdistämällä sen, saamme ratkaisun

#z {R ^ (1/3) e ^ (β / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theeta + 4pi) / 3)} #

Voimme muuntaa tämän takaisin # A + bi # lomakkeen haluttaessa käyttäen identiteettiä

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Edellä mainitun soveltaminen ongelmaan:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Edellä mainitun prosessin avulla voimme löytää # 3 ^ "rd" # juuret # I #:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) {e ^ (ipi / 6): ssa, e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

hakeminen # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # meillä on

# i ^ (1/3) {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Lopuksi korvaamme nämä arvot #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #