Vastaus:
# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #
Selitys:
Puoli-helppo tapa nähdä tämä on aloittaa lausekkeen jakaminen käyttämällä Long Divisionia. Kirjoita osinko (jaottosymbolin alla) nollilla
# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #
Emme tarvitse kaikkia ehtoja, jotta voimme huomata mallin.
Kun aloitat jakamisen, huomaat, että ensimmäisellä aikavälillä on kerroin 1, toisella kerroin 3, kolmas on kerroin 7, sitten 15, sitten 31 jne.
Näillä numeroilla on muoto # 2 ^ m - 1 #.
Loput näkyvät sen jälkeen, kun olet jakanut koko asian, joka koostuu # 2011 ^ (th) # ja # 2012 ^ (th) # ehdoin.
Kertoimen ensimmäinen termi seuraa samaa kuviota, jolla on #2^2011-1# kerroin. Viimeinen kerroin on yksi vähemmän kuin #2^2011-1# -- se on #2^2011 - 2#, tai #2(2^2010 - 1)#.
Sama kuvio pätee jokaiseen lomakkeen jakoon
# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, missä #m> = 3 #.
Voit myös huomata sen # x ^ 2011 - 1 # on moninkertainen #x - 1 #, joka peruuttaa tekijän nimittäjässä.
Vastaus:
Katso alempaa.
Selitys:
# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #
missä #Q (x) # on #2009# asteen polynomi ja # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #
Nyt tiedämme
# 1 ^ 2011 = a + b #
# 2 ^ 2011 = 2a + b #
Ratkaisu # A, b # saamme
#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # ja sitten
#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # mikä on loput.
