Olkoon p ei-singulaarinen matriisi 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O tarkoittaa nollamatriisia), sitten p ^ -1 on?

Vastaus:

Vastaus on # = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Selitys:

Tiedämme sen

# P ^ -1p = I #

# I + p + p ^ 2 + s ^ 3 ….. p ^ n = O #

Kerro molemmat puolet # P ^ -1 #

# P ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + s ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# P ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + s ^ -1 * p ^ 2 + …… s ^ -1 * p ^ n = O #

# P ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (s ^ -1p * p ^ (n-1)) = O #

# P ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

Siksi, # P ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # mutta # P # hypoteesin mukaan ei ole yksikäsitteinen # P ^ -1 # niin

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

ja lopuksi

# p ^ - 1 = - summa_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

Voidaan myös ratkaista

# p ^ -1 = -p (summa_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #