Miten voit ratkaista ^ 2-sqrt (3) a + 1 = 0?

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = (a-sqrt (3) / 2) (a-sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2- (sqrt (3) / 2 + sqrt (3) / 2) a + (sqrt (3) / 2) (sqrt (3) / 2) #

# = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 #

Joten meillä on:

# 0 = a ^ 2-sqrt (3) a + 1 = a ^ 2-sqrt (3) a + 3/4 + 1/4 #

# = (A-sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1/4 #

Vähennetään 1/4 molemmilta puolilta, saamme:

# (a-sqrt (3) / 2) ^ 2 = -1 / 4 #

Tällä ei ole reaalilukuratkaisuja, koska minkä tahansa reaaliluvun neliö ei ole negatiivinen.

Jos haluat monimutkaisia ratkaisuja, # a-sqrt (3) / 2 = + -sqrt (-1/4) = + -i / 2 #

lisääminen #sqrt (3/2) # molemmille puolille, saamme

#a = sqrt (3) / 2 + - i / 2 #.

Aloittaisin soveltaa kaavaa ratkaistakseni kvadratiiviset yhtälöt (itse asiassa tämä on neliöyhtälö yhtälössä "a"):

#a = (- b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) => a = (sqrt3 + -sqrt ((sqrt3) ^ 2-4 · 1 · 1)) / (2 · 1) => a = (sqrt3 + -sqrt (3-4)) / 2 => a = (sqrt3 + -sqrt (-1)) / 2 #

Kuten näette, yhtälöllä ei ole todellista ratkaisua, koska sillä on neliöjuuri negatiivinen luku (#sqrt (-1) #).

• Jos siis työskentelet todellisten numeroiden kanssa, vastaus on, että ei ole #a RR: ssä joka tekee # a ^ 2-sqrt3a + 1 = 0 #.

• Mutta jos työskentelet monimutkaisilla numeroilla, on kaksi ratkaisua:

  # A_1 = (sqrt3 + i) / 2 # ja # A_2 = (sqrt3-i) / 2 #.