Mikä on tämän funktion y = cos ^ -1 (-2x ^ 3-3) ^ 3 johdannainen?

Vastaus:

# D / dx (cos ^ -1u (x)) = (18x ^ 2 (-2x ^ 3-3) ^ 2) / (sqrt (1 - (- 2 x ^ 3-3) ^ 6) #

Selitys:

Käänteisen trigonometrisen funktion johdannaisen perusteella meillä on:

#COLOR (sininen) (d / dx (cos ^ -1u (x)) = - (d / dx (u (x))) / (sqrt (1-u (x) ^ 2)) #

Joten meidän on löydettävä # D / dx (u (x)) #

Täällä#U (x) # on kahden toiminnon yhdistelmä, joten meidän pitäisi soveltaa ketjun sääntöä sen johdannaisen laskemiseksi.

Päästää

#G (x) = - 2x ^ 3-3 # ja

#f (x) = x ^ 3 #

Meillä on #u (x) = f (g (x)) #

Ketjussääntö sanoo:

#COLOR (punainen) (d / dx (u (x)) = väri (vihreä) (f (g (x))) * väri (ruskea) (g '(x)) #

Löytäkäämme #COLOR (vihreä) (f (g (x)) #

#f '(x) = 3x ^ 2 # sitten, #f "(g (x)) = 3g (x) ^ 2 #

#COLOR (vihreä) (f (g (x)) = 3 (-2x ^ 3-3) ^ 2 #

Löytäkäämme #COLOR (ruskea) (g '(x)) #

#COLOR (ruskea) (g '(x) = - 6x ^ 2) #

#COLOR (punainen) ((du (x)) / dx) = väri (vihreä) (f (g (x))) * väri (ruskea) (g '(x)) #

#COLOR (punainen) ((du (x)) / dx) = väri (vihreä) (3 (-2x ^ 3-3) ^ 2) * (väri (ruskea) (- 6x ^ 2)) #

#COLOR (punainen) ((du (x)) / dx) = - 18x ^ 2 (-2x ^ 3-3) ^ 2 #

#COLOR (sininen) (d / dx (cos ^ -1u (x)) = - (d / dx (u (x))) / (sqrt (1-u (x) ^ 2) #

#COLOR (sininen) (d / dx (cos ^ -1u (x)) = - (- 18x ^ 2 (-2x ^ 3-3) ^ 2) / (sqrt (1 - ((- 2 x ^ 3-3) ^ 3) ^ 2) #

Siksi,

#COLOR (sininen) (d / dx (cos ^ -1u (x)) = (18x ^ 2 (-2x ^ 3-3) ^ 2) / (sqrt (1 - (- 2 x ^ 3-3) ^ 6) #