Vastaus:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
# = Arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #
Selitys:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=# -int (3x-5) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=# -int (3x-3-2) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=# -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) * dx #+#int 2 / (x ^ 2-2x + 5) * dx #
=#int 2 / ((x-1) ^ 2 + 4) * dx #-# 3 / 2int (2x-2) / (x ^ 2-2x + 5) #
=#arctan ((x-1) / 2) -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) #
Vastaus:
# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #
Selitys:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = int (-3x + 5-2 + 2) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = int (-3x + 3) / (x ^ 2-2x + 5) + 2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx + int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
for:
# -Int (3 x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
Käytä korvausta:
# U = x ^ 2-2x + 5 #
#implies du = 2x-2dx tarkoittaa 3 / 2du = 3x-3dx #
#täten -int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx = -int (3/2) / udu = -3 / 2ln (u) + C #
Vaihda vaihto:
# -3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + C #
Nyt toinen integraali:
# Int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
Kirjoita nimittäjä valmiiksi neliömuotoon:
# X ^ 2-2x + 5 = (x-1) ^ 2 - (- 1) ^ 2 + 5 = (x-1) ^ 2 + 4 #
Niin:
# Int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx = 2intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) #
Korvaa nyt:
# 2u = (x-1) #
#implies du = 2dx # Niin:
# 2intdx / ((x-1) ^ 2 + 4) = 2int2 / (4u ^ 2 + 4) du = 4 / 4int1 / (u ^ 2 + 1) du #
Se, mitä tunnemme, integroituu vain käänteiseen tangenttiin, joka antaa meille:
# = Tan ^ -1 (u) + C #
Vaihda vaihto:
# = Tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #
Näin ollen "jotain" on:
#int (-3x + 5) / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = - int (3x-3) / (x ^ 2-2x + 5) dx + int2 / (x ^ 2-2x + 5) dx #
# = - 3 / 2ln (x ^ 2-2x + 5) + tan ^ -1 ((x-1) / 2) + C #
