Vastaus:
Se yhtyy täysin.
Selitys:
Käytä absoluuttisen lähentymisen testiä. Jos otamme ehdot ehdottomasti, saamme sarjan
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Tämä on yleisen suhteen geometrinen sarja #1/4#. Näin se konvergoituu. Koska molemmat # | A_n | # suppenee # A_n # yhtyy täysin.
Toivottavasti tämä auttaa!
Vastaus:
# "Se on yksinkertainen geometrinen sarja ja se yhtyy täysin" # # "summa" = 16/5 = 3.2. "#
Selitys:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", edellyttäen, että | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Ota" a = -1/4 ", niin meillä on" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Nyt meidän sarjamme on neljä kertaa enemmän kuin ensimmäisellä aikavälillä." #
# "Joten meidän sarjamme" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Vastaus:
Geometrinen sarja konvergoituu ehdottomasti
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, summa_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Selitys:
Tämä sarja on varmasti vuorotellen sarja; se näyttää kuitenkin myös geometriselta.
Jos voimme määrittää yhteisen suhdeluvun, joka on kaikkien ehtojen mukainen, sarja on muodossa
#sum_ (n = 0) ^ óôá (r) ^ n #
Missä # A # on ensimmäinen termi ja # R # on yhteinen suhde.
Meidän on löydettävä yhteenveto edellä esitetyn muodon avulla.
Jaa jokainen termi edeltävällä termillä yhteisen suhteen määrittämiseksi # R #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Siten tämä sarja on geometrinen, ja siinä on yhteinen suhde # R = -1/4 #, ja ensimmäinen termi # A = 4. #
Voimme kirjoittaa sarjan
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Muista, että geometrinen sarja #sum_ (n = 0) ^ óôá (r) ^ n # lähentyy # A / (1-r) # jos # | R | <1 #. Jos se siis konvergoituu, voimme myös löytää sen tarkan arvon.
Tässä, # | R | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, joten sarja konvergoituu:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Nyt määritetään, konvertoidaanko se täysin.
# A_n = 4 (-1/4) ^ n #
Poista poikkeava negatiivinen termi:
# A_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Ota absoluuttinen arvo, jolloin vaihtuva negatiivinen termi häviää:
# | A_n | = 4 (1/4) ^ n #
Täten, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Me näemme # | R | = 1/4 <1 #, joten meillä on vielä lähentyminen:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Sarja konvergoituu ehdottomasti
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, summa_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
