Vastaus:
En usko, että yhtälö on pätevä. Oletan #abs (z) # on absoluuttisen arvon funktio
Selitys:
Kokeile kahta termiä, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Siten
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Ehkä tarkoitat monimutkaisten numeroiden kolmion epätasa-arvoa:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Voimme lyhentää tätä
# | sum z_i | le sum | z_i | #
missä summat ovat #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # text {Re} (z) le | z | #
Todellinen osa ei ole koskaan suurempi kuin suuruus. Päästää # Z = x + iy # jonkin verran todellista # X # ja # Y #. Selvästi # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # ja ottaa juuret # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Suuruus on aina positiivinen; # X # voi olla tai ei; kumpikaan se ei ole koskaan suurempi kuin suuruus.
Käytän overbaria konjugaattiin. Täällä on todellinen määrä, neliön suuruus, joka vastaa konjugaattien tuotetta.Temppu on, että se vastaa omaa todellista osuuttaan. Summan todellinen osa on todellisten osien summa.
# | sum z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = teksti {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i teksti {Re} (z_i bar (sum_j z_j)) #
Loppumme ja tuotteen suuruusluokan suuruus ja konjugaattien suuruus ovat yhtä suuret,
# | sum z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Voimme peruuttaa yhden summan summan tekijän # | sum z_i | #, joka on positiivinen, säilyttäen eriarvoisuuden.
# | sum z_i | le sum | z_i | #
Sitä me halusimme todistaa.
