Mikä on 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Vastaus:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Selitys:

Joten tässä meillä on integraali:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

Ja neliömäisen vastavuoroisuuden muoto näyttää viittaavan siihen, että trigonometrinen substituutio toimi tässä. Täytä neliö siten, että saat:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Käytä sitten korvaamista #u = x-1 # poistaaksesi lineaarisen:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Joten voimme turvallisesti muuttaa muuttujia, joilla ei ole toivottuja sivuvaikutuksia:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Nyt tämä on ihanteellinen muoto trigonometrisen korvaamisen suorittamiseksi; # u ^ 2 + 1 # ehdottaa Pythagorean identiteettiä # 1 + tan ^ 2theta = sek ^ 2theta #, joten käytämme korvaamista #u = tantheta # yksinkertaistaa nimittäjää:

# (du) / (d theta) = sek ^ 2 theta #

#rArr du = sek ^ 2 theta deta #

Joten integraali tulee:

#int 1 / (sek ^ 2 theta) ^ 2 * sek ^ 2 theta deta #

# = int 1 / (sek ^ 2 theta) deta #

# - = int cos ^ 2 theta deta #

Käytämme nyt kaksinkertaisen kulman kaavaa # Cos # jotta tämä antivivaattori olisi helpommin hallittavissa:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Sitten laita se integraaliin:

# 1/2 int cos (2 teeta) + 1 detaatti #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 teeta)) + c # (ja avaa tämä uudelleen kaksoiskulma-kaavalla #synti#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Nyt, # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sek ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Lopuksi pääset pisteeseen:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #