Miten todistaa, että sarja on yhteneväinen?

Vastaus:

Muuntaa suora vertailutesti.

Selitys:

Voimme käyttää suoraa vertailutestiä niin paljon kuin meillä on

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, sarja alkaa yhdestä.

Suoran vertailutestin käyttämiseksi meidän on osoitettava tämä # A_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # on positiivinen # 1, oo) #.

Ensinnäkin huomaa, että välissä # 1, oo), cos (1 / k) # on positiivinen. Arvoja varten #X # Cosx # on ensimmäisessä neljänneksessä (ja siksi positiivinen). No, sillä #k> = 1, 1 / k niin, #cos (1 / k) # on todellakin positiivinen.

Lisäksi voimme sanoa #cos (1 / k) <= 1 #, kuten #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Sitten voimme määrittää uuden sekvenssin

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # kaikille # K. #

Hyvin, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Tiedämme tämän lähentyvän # P #se on testissä # Sum1 / k ^ p # missä # P = 2> 1 #.

Sitten, koska suurempi sarja konvergoituu, niin pienemmän sarjan täytyy olla.

Vastaus:

Se lähentyy suoran vertailutestin avulla (katso lisätietoja alla).

Selitys:

Tunnista, että kosinialue on -1,1. Tutustu kaavioon #cos (1 / x) #:

kaavio {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Kuten näette, maksimi arvo, jonka tämä saavuttaa, on 1. Koska yritämme vain todistaa lähentymisen täällä, asetetaan lukija 1: ksi, jättäen:

# Sum1 / (9 k ^ 2) #

Nyt siitä tulee hyvin yksinkertainen suoran vertailutestin ongelma. Muista, mitä suora vertailutesti tekee:

Mieti mielivaltaista sarjaa # A_n # (emme tiedä, jos se konvergoituu / erottuu), ja sarja, josta tiedämme lähentymisen / eron, # B_n #:

Jos #b_n> a_n # ja # B_n # konvergoituu # A_n # myös lähentyvät.

Jos #b_n <a_n # ja # B_n # eroaa sitten # A_n # myös eroaa.

Voimme verrata tätä toimintoa #b_n = 1 / k ^ 2 #. Voimme tehdä tämän, koska tiedämme, että se konvergoituu (p-testin vuoksi).

Joten, koska # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, ja # 1 / k ^ 2 # yhtyy, voimme sanoa, että sarja konvergoituu

Odota, näytimme vain, että tämä sarja konvergoituu, kun lukija = 1. Entä kaikki muut arvot #cos (1 / k) # voisi ottaa? No, muista, että 1 on maksimi arvo, jonka laskija voi ottaa. Joten, koska olemme osoittaneet, että tämä konvergoituu, olemme epäsuorasti osoittaneet, että tämä sarja on lähentynyt minkä tahansa arvon lukijaan.

Toivottavasti se auttoi:)