Mikä on yhtälön todellisen juuren moninaisuus, joka ylittää / koskettaa x-akselia kerran?

Vastaus:

Muutama havainto …

Selitys:

Ota huomioon, että #f (x) = x ^ 3 # omistaa ominaisuudet:

• #F (x) # on astetta #3#

• Ainoa todellinen arvo # X # mille #f (x) = 0 # on # X = 0 #

Nämä kaksi ominaisuutta eivät yksinään riitä määrittämään, että nolla on # X = 0 # on moninaisuus #3#.

Harkitse esimerkiksi:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Ota huomioon, että:

• #G (x) # on astetta #3#

• Ainoa todellinen arvo # X # mille #g (x) = 0 # on # X = 0 #

Mutta. T #G (x) # at # X = 0 # on #1#.

Jotkut asiat, joita voimme sanoa:

• Polynomi aste #n> 0 # on täsmälleen # N # monimutkaisia (mahdollisesti todellisia) nollia laskettaessa. Tämä on seurausta Algebran perusperiaatteesta.

• #f (x) = 0 # vasta kun # X = 0 #, mutta se on aste #3#, niin on #3# nollan laskemisen moninaisuus.

• Siksi nolla on # X = 0 # on oltava moninainen #3#.

Miksi sama ei päde #G (x) #?

Se on astetta #3#, niin on kolme nollaa, mutta kaksi niistä ovat ei-todellisia monimutkaisia nollia, nimi # + - i #.

Toinen tapa tarkastella tätä on tarkkailla sitä # X = a # on nolla #F (x) # jos ja vain jos # (X-a) # on tekijä.

Löydämme:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Tuo on: # X = 0 # on nolla #3# kertaa.