Miten integroida sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Vastaus:

#intqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Selitys:

Koska vain yksi on helpompi käsitellä # X # neliöjuuren alapuolella täytämme neliön:

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# K = -4 #

# X ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#intqrt (x ^ 2 + 4x) x = int qrt ((x + 2) ^ 2-4) x #

Nyt meidän on tehtävä trigonometrinen korvaus. Aion käyttää hyperbolisia liipaisutoimintoja (koska tavallinen integraali ei yleensä ole kovin mukavaa). Haluamme käyttää seuraavaa identiteettiä:

# Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Tätä varten haluamme # (X + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Voimme ratkaista # X # saada mitä korvausta tarvitsemme:

# X + 2 = 2cosh (theta) #

# X = 2cosh (theta) -2 #

Integroida suhteessa # Theta #, meidän on kerrottava # X # kunnioittaen # Theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#intqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = intqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2 sqrt (4 kHz ^ 2 (teta) -4) * sinh (teta) d theta = 2intqrt (4 (cosh ^ 2 (teta) -1)) * sinh (theta) d theta = #

# = 2 * sqrt (4) intqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Nyt voimme käyttää identiteettiä # Cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4 sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d-teeta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Nyt käytämme identiteettiä:

# Sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2-aseta) -1 deta = intos 2 khh (2-beta) d-teeta-2theta = #

Voisimme tehdä nimenomaisen u-korvauksen # 2cosh (2theta) #, mutta on selvää, että vastaus on #sinh (2theta) #:

# = Sinh (2theta) -2theta + C #

Nyt meidän on kumottava korvaaminen. Voimme ratkaista # Theta # saada:

# Theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Tämä antaa:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #