Miten voin integroida tämän?

Vastaus:

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

Selitys:

Haluamme ratkaista

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

Voit kokeilla yleisempää ongelmaa

# I_1 = inte ^ (ax) cos (BX) dx #

Missä me etsimme ratkaisua

# I_1 = (e ^ (ax) (BSIN (BX) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Temppu on käyttää osia kahdesti

# Intudv = uv-intvdu #

Päästää # U = e ^ (ax) # ja # Dv = cos (BX) dx #

Sitten # Du = ae ^ (ax) dx # ja # V = 1 / BSIN (bx) #

# I_1 = 1 / on ^ (ax) sin (bx) -a / Binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Käytä integrointia osien avulla jäljellä olevaan integraaliin

# I_2 = a / Binte ^ (ax) sin (bx) dx #

Päästää # U = e ^ (ax) # ja # Dv = sin (bx) dx #

Sitten # Du = ae ^ (ax) dx # ja # V = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / olla ^ (ax) cos (BX) + a / Binte ^ (ax) cos (BX) dx) #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (BX) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

Korvaa tämä alkuperäiseen kokonaisuuteen ja ratkaise # I_1 #, se on vähän pitkä, mutta otamme sen askel askeleelta

# I_1 = 1 / on ^ (ax) sin (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) #

# I_1 = 1 / on ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / on ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + C #

# (A ^ 2 + b ^ 2) / b ^ 2I_1 = 1 / on ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX) + C #

# I_1 = b ^ 2 / (a ^ 2 + b ^ 2) (1 / on ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (BX)) + C #

# I_1 = 1 / (a ^ 2 + b ^ 2) (on ^ (ax) sin (bx) + AE ^ (ax) cos (BX)) + C #

# I_1 = (e ^ (ax) (BSIN (BX) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

Ongelmasi # A = ln (2) # ja # B = 3 #

# I = (e ^ (ln (2) x) (3sin (3x) + ln (2) cos (3x))) / ((ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

Toivottavasti ei ole monia virheitä

Katso alla oleva vastaus: olemme ratkaisseet käyttämällä erillisiä elementtejä yleisen muotoilun sijasta, emmekä yksinkertaistaneet lopputulosta seuraavasti: