Luokkahuoneessa on 7 lasta. Kuinka monella tavalla ne voivat yhdistää syvennykseen?

#7! = 7*6*5*4*3*2*1 = 5040. #

Tämä erityinen ongelma on a vaihtelu. Muistakaa, ero permutaatioiden ja yhdistelmien välillä on se, että permutaatioiden avulla tilataan asioita. Koska kysymyksessä kysytään, kuinka monta tapaa opiskelijat voivat riviin syvennykseen (ts. Kuinka monta eri tilausta), tämä on permutaatio.

Kuvittele hetki, että täytimme vain kaksi paikkaa, asema 1 ja asema 2. Jotta voisimme erottaa oppilaitamme, koska tilausasiat liittyvät, annamme jokaiselle kirjeen A: sta G.: hen. kerrallaan meillä on seitsemän vaihtoehtoa ensimmäisen sijainnin täyttämiseksi: A, B, C, D, E, F ja G. Kuitenkin, kun tämä asema on täytetty, meillä on vain kuusi vaihtoehtoa toiselle, koska yksi niistä opiskelijat on jo sijoitettu.

Oletetaan esimerkiksi, että A on asennossa 1. Sitten mahdolliset tilauksemme kahdelle sijainnillemme ovat AB (eli A asemassa 1 ja B asemassa 2), AC, AD, AE, AF, AG. Tässä ei kuitenkaan oteta huomioon kaikkia mahdollisia tilauksia, sillä ensimmäisessä asennossa on 7 vaihtoehtoa. Jos siis B olisi asemassa 1, meillä olisi mahdollisuuksina BA, BC, BD, BE, BF ja BG. Siten kerromme vaihtoehtojemme lukumäärät yhteen: #7*6 = 42#

Kun tarkastellaan takaisin alkuperäistä ongelmaa, on 7 opiskelijaa, jotka voidaan sijoittaa asemaan 1 (jälleen, olettaen että täytämme sijainnit 1–7 järjestyksessä). Kun asema 1 on täytetty, 6 opiskelijaa voidaan sijoittaa asentoon 2. Asemien 1 ja 2 ollessa täytetty, 5 voidaan sijoittaa asemaan 3 ja niin edelleen, kunnes vain yksi opiskelija voidaan sijoittaa viimeiseen asentoon. Näin moninkertaistamme vaihtoehtojemme lukumäärät yhdessä #7*6*5*4*3*2*1 = 5040#.

Yleisempää kaavaa, jolla voidaan löytää permutaatioiden lukumäärä # N # otetut kohteet # R # kerrallaan, ilman korvausta (eli opiskelija, joka on asemassa 1, ei palaa odotusalueelle ja hänestä tulee vaihtoehto 2), käytämme kaavaa:

Permutaatioiden lukumäärä = # "N!" / "(N-R)!" #.

kanssa # N # objektien lukumäärä, # R # täytettävien tehtävien lukumäärä ja #!# symboli kertoma, operaatio, joka toimii ei-negatiivisella kokonaisluvulla # A # niin että #A! # = #atimes (a-1) kertaa (a-2) kertaa (a-3) kertaa … kertaa (1) #

Näin ollen käyttämällä kaavaa alkuperäisen ongelman kanssa, jossa meillä on 7 opiskelijaa 7 kertaa kerrallaan (esim. Haluamme täyttää 7 paikkaa), meillä on

#'7!'/'(7-7)!' = (7*6*5*4*3*2*1)/(0!) = (7*6*5*4*3*2*1)/1 = 7!#

Se saattaa tuntua vastoin intuitiivista #0! = 1#; tämä on kuitenkin todella.