Mikä on Abelian ryhmä, lineaarisesta / abstraktista algebra-näkökulmasta?

Vastaus:

Abelian ryhmä on ryhmä, jossa ryhmän toiminnon lisäominaisuus on kommutatiivinen.

Selitys:

ryhmä # <G, •> # on sarja # G # yhdessä binaaritoiminnon kanssa # •: GxxG-> G # jotka täyttävät seuraavat ehdot:

1. # G # on suljettu alla #•#.

   Mille tahansa # A, Bing #, meillä on # a • b G: ssä

2. #•# on assosiatiivinen.

   Mille tahansa # A, b, Cing #, meillä on # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # sisältää identiteettielementti

   On olemassa # Eing # niin että kaikille # AinG #, # A • e = e • a = a #

4. Jokainen elementti # G # on käänteinen sisään # G #

   Kaikille # AinG # on olemassa #A ^ (- 1) Ing # niin että # • ta ^ (- 1) = a ^ (- 1) • a = E #

Ryhmän sanotaan olevan Abelin jos sillä on myös omaisuutta #•# on kommutatiivinen, eli kaikkien kannalta # A, Bing #, meillä on # a • b = b • a #.

Ryhmä # <ZZ, +> # (kokonaisluvut standardin lisäyksellä) on Abelian ryhmä, koska se täyttää kaikki viisi edellä mainittua ehtoa.

Ryhmä # GL_2 (RR) # (joukko kääntyviä # 2 "x" 2 # matriisit, joissa on todellisia elementtejä yhdessä matriisin monistamisen kanssa), on ei-Abelian, koska vaikka se täyttää neljä ensimmäistä ehtoa, kääntyvien matriisien välinen matriisin kertolasku ei välttämättä ole kommutatiivinen. Esimerkiksi:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

mutta

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#