Kysymys # 27939

Vastaus:

Kuten Sudip Sinha on huomauttanut # -1 + sqrt3i # EI ole nolla. (En unohda tarkistaa sitä.) Muut nollat ovat # 1-sqrt3 i # ja #1#.

Selitys:

Koska kaikki kertoimet ovat reaalilukuja, kaikki kuvitteelliset nollat täytyy esiintyä konjugaattipareissa.

Siksi, # 1-sqrt3 i # on nolla.

Jos # C # on sitten nolla # Z-c # on tekijä, joten voisimme moninkertaistaa

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # saada # Z ^ 2-2z +4 #

ja sitten jakaa #P (z) # tuolloin.

Mutta se on nopeampi harkita mahdollinen järkevä nolla # P # ensimmäinen. Tai lisää kertoimet nähdäksesi sen #1# on myös nolla.

Vastaus:

#1# ja # 1 - sqrt3 i #

Selitys:

Kysymyksessä on virhe. Juuren pitäisi olla # 1 + sqrt3 i #. Voit tarkistaa tämän asettamalla arvon ilmaisuun. Jos se on juuri, lausekkeen pitäisi arvioida nollaan.

Ilmaisulla on kaikki todelliset kertoimet, joten Complex Conjugate Roots Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) on, että toinen monimutkainen juuri on # 1 - sqrt3 i #, On selvää, kolmas juuret (sano # A #) on oltava todellinen, koska sillä ei voi olla monimutkaista konjugaattia; muuten on 4 juuria, mikä ei ole mahdollista kolmannen asteen yhtälölle.

Huomautus

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Siitä asti kun # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Yritämme saada tämän tekijän ilmaisuun.

Voimme kirjoittaa:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Vastaus:

Intro, mielestäni juuri pitäisi olla #COLOR (sininen) (1 + sqrt3) # ja ei #COLOR (punainen) (- 1 + sqrt3) #

Tällä perusteella vastaus on:

#z {1, "1 + sqrt3," 1-sqrt3} #

Selitys:

Käyttämällä ajatusta monimutkaisia konjugaatteja ja joku muu viileitä temppuja.

#P (z) # on asteen polynomi #3#. Tämä tarkoittaa, että sen pitäisi olla vain #3# juuret.

Yksi mielenkiintoinen seikka monimutkaisista juurista on se, että he eivät koskaan esiinny yksin konjugaattiparit.

Niin jos # 1 + isqrt3 # on yksi juuri, sitten sen konjugaatti: # 1-isqrt3 # varmasti on myös juuret!

Ja koska jäljellä on vain yksi juuret, voimme kutsua sitä juuri # Z = a #.

Se ei ole monimutkainen numero, koska monimutkaiset juuret esiintyvät aina pareittain.

Ja koska tämä on viimeinen #3# juuret, ensimmäisen parin jälkeen ei voi olla muita paria!

Loppujen lopuksi tekijät #P (z) # olivat helposti havaittavissa # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "ja" (z-a) #

Huom. Huomaa, että juuren ja tekijän välinen ero on, että:

- Juuri voisi olla # Z = 1 + i #

Mutta vastaava tekijä olisi # Z (1 + i) #

Toinen temppu on se, että faktorointi #P (z) # meidän pitäisi saada jotain tällaista:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Seuraavaksi laajenna pidikkeet, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Seuraavaksi me rinnastamme tämän alkuperäiseen polynomiin #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Koska nämä kaksi polynomia ovat identtiset, rinnastamme kertoimet # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #ja # Z ^ 0 #(pysyvä termi) kummallakin puolella,

Itse asiassa meidän täytyy vain valita yksi yhtälö ja ratkaista se # A #

Vakioehtojen yhtälö

# => - 4a = -4 #

# => A = 1 #

Näin ollen viimeinen juuri on #COLOR (sininen) (z = 1) #