Todista: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Todistaa # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Päästää # Cos ^ -1x = theta #

# => X = costheta #

Nyt # LHS = 3theta #

# = Cos ^ -1cos (3theta) #

# = Cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = Cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Show

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Joskus trig on vähemmän tekemässä matematiikkaa ja enemmän matematiikan tunnistamisesta, kun näemme sen. Täällä tunnistamme # 4x ^ 3 -3x # kosinin kolminkertaisen kulman kaavana, # (3heta) # kun # x = coseta #.

factoid: # 4x ^ 3-3x # kutsutaan myös # T_3 (x) #, kolmas Chebyshevin ensimmäinen polynomi. Yleisesti, # cos (nx) = T_n (cos x).

Oletamme # Arccos # viittaa pääarvoon. Haluan soittaa päämiehelle #text {Arc} text {cos} # mutta se on vaikeampi kirjoittaa.

Riittävä tausta. Kun olemme tunnistaneet kolminkertaisen kulman kaavan, todiste on helppoa.

Todiste:

Päästää #theta = arccos x.

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3-theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #

Näytä, että cos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Olen hieman sekava, jos teen Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), se muuttuu negatiiviseksi kuin cos (180 ° -theta) = - costheta in toinen neljännes. Miten voin todistaa kysymyksen?

Katso alla. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

Todista, että 32sin ^ 4x.cos ^ 2x = cos6x-2cos4x-cos 2x + 2?

RHS = cos6x-2cos4x-cos2x + 2 = cos6x-cos2x + 2 (1-cos4x) = -2sin ((6x + 2x) / 2) * sin ((6x-2x) / 2) + 2 * 2sin ^ 2 ( 2x) = 4sin ^ 2 (2x) -2sin4x * sin2x = 4sin ^ 2 (2x) -2 * 2 * sin2x * cos2x * sin2x = 4sin ^ 2 (2x) -4sin ^ 2 (2x) * cos2x = 4sin ^ 2 (2x) [1-cos2x] = 4 * (2sinx * cosx) ^ 2 * 2sin ^ 2x = 4 * 4sin ^ 2x * cos ^ 2x * 2sin ^ 2x = 32sin ^ 4x * cos ^ 2x = LHS

Todista, että ((cos (33 ^ @)) ^ 2- (cos (57 ^ @)) ^ 2) / ((sin (10.5 ^ @)) ^ 2- (sin (34.5 ^ @)) ^ 2) = -sqrt2?

Katso alla. Käytämme kaavoja (A) - cosA = sin (90 ^ @ A), (B) - cos ^ 2A-sin ^ 2A = cos2A (C) - 2sinAcosA = sin2A, (D) - sinA + sinB = 2sin (( A + B) / 2) cos ((AB) / 2) ja (E) - sinA-sinB = 2cos ((A + B) / 2) sin ((AB) / 2) (cos ^ 2 33 ^ @ - cos ^ 2 ^ ^) / (sin ^ 2 10,5 ^@-sin^2 34,5 ^ @) = (cos ^ 2 ^ ^ @ - sin ^ 2 (90 ^ @ - 57 ^ @)) / ((sin10. 5 ^ @ + sin34.5 ^ @) (sin10.5 ^ @ - sin34.5 ^ @)) - käytetty A = (cos ^ 2 33 ^ @ - sin ^ 2 33 ^ @) / (- (2sin22,5 ^ @ cos12 ^ @) (2cos22.5 ^ @ sin12 ^ @)) - käytetty D & E = (cos66 ^ @) / (- (2sin22.5 ^ @ cos22.5 ^ @ xx2sin12 ^ @ cos12 ^ @) - käytetty B