Yritä ratkaista tämä? mikä vaihtoehto on oikea?

Tätä nähdään helposti alkeisilla keinoilla, joita ei voida toteuttaa, joten ratkaistin sen vain numeerisesti ja sain:

Arvostin integraalia varten #n = 1, 1,5, 2,…, 9,5, 10, 25, 50, 75, 100 #. Siihen mennessä se oli selvästi saavuttamassa #0.5#.

Vastaus:

Katso alempaa.

Selitys:

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

tai

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

Nyt kun oletetaan, että yksi vastauksista on totta, luonnollisin näyttää olevan neljäs 4)

HUOMAUTUS

varten #x kohdassa 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

Vastaus:

#1/2#

Selitys:

Kuten edellisessä ratkaisussa on jo osoitettu, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

on olemassa ja se on rajoitettu:

# 1/2 le I_n <1 #

Nyt integraatio osien tuotolla

# I_n = ((int nx ^ (n-1) dx) / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1-int_0 ^ 1 x ^ n kertaa (- (2x) / (1 + x ^ 2) ^ 2) dx #

#qquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

Siitä lähtien # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # sisään #(0,1)#

#J_n = 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

#qquad <= 2 / (n + 2) int_0 ^ 1 ((n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2) #

Siitä asti kun #lim_ (n - oo) I_n # olemassa, meillä on

#lim_ (n - oo) J_n = lim_ (n - oo) 2 / (n + 2) I_ (n + 2) = lim_ (n - oo) 2 / (n + 2) kertaa lim_ (n - oo) I_ (n + 2) = 0 #

Siten

# lim_ (n - oo) I_n = 1/2 #