Miksi neliö on valmis? + Esimerkki

Vastaus:

Yksinkertaistetaan neliöilmaisuja niin, että ne ovat ratkaistavissa neliöjuurilla.

Selitys:

Ruudun viimeistely on esimerkki Tschirnhaus-muunnoksesta - korvauksen käytöstä (vaikkakin implisiittisesti) polynomin yhtälön vähentämiseksi yksinkertaisempaan muotoon.

Niin annetaan:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # kanssa #a! = 0 #

voisimme kirjoittaa:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (valkoinen) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (valkoinen) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (valkoinen) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (valkoinen) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (valkoinen) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Siten:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Niin:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Niinpä aloitit neljännen yhtälön muodossa:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

saimme sen muotoon # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # kanssa #t = (2ax + b) # ja # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #poistamalla lineaarinen termi, jättäen vain neliön ehdot.

Niin kauan kuin olemme iloisia laskettaessa neliöjuuret, voimme nyt ratkaista minkä tahansa kvadratiivisen yhtälön.

Neliön viimeistely on hyödyllistä myös ympyrän, ellipsin tai muun kartiomaisen osan yhtälön saamiseksi vakiomuotoon.

Esimerkiksi annetaan:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

täyttämällä aukio, jonka löydät:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

antaa meille mahdollisuuden tunnistaa tämä yhtälö kuin ympyrän keskipiste #(2, -3)# ja säde #5#.