Miten laajentaa Maclaurin-sarjaa? f (x) = int_0 ^ xlog (1-t) / TdT

Vastaus:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n +1) ^ 2 #

Visuaalinen: Tarkista tämä kaavio

Selitys:

Emme voi selkeästi arvioida tätä integraalia, koska se käyttää mitä tahansa opittua säännöllistä integraatiotekniikkaa. Koska se on kuitenkin kiinteä integraali, voimme käyttää MacLaurin-sarjaa ja tehdä sitä, mitä kutsutaan termillä integrointi.

Meidän on löydettävä MacLaurin-sarja. Koska emme halua löytää tämän funktion n: oista johdannaista, meidän on yritettävä sovittaa se johonkin jo tunnetusta MacLaurin-sarjasta.

Ensinnäkin emme pidä # Log #; haluamme tehdä siitä a # Ln #. Tätä varten voimme yksinkertaisesti käyttää perusmuodon muutosta:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

Joten meillä on:

# Int_0 ^ xlnR (1-t) / (TLN (10)) dt #

Miksi teemme tämän? No, huomaa nyt # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # Miksi tämä on niin erikoista? Hyvin, # 1 / (1-x) # on yksi yleisimmin käytetty MacLaurin-sarja:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = summa_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…kaikille # X # päällä #(-1, 1#

Joten voimme käyttää tätä suhdetta etumme ja korvata #ln (1-t) # kanssa # Int-1 / (1-t) dt #, jonka avulla voimme korvata sen # Ln # MacLaurin-sarjassa. Yhdessä tämä antaa:

# ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

Integroinnin arviointi:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

Peruuttaminen # T # nimittäjänä:

# = -1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1) #

Ja nyt otamme lopullisen integraalin, jonka aloimme ongelman kanssa:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^ (n) / (n + 1)) dt #

Huomautus: Huomioi, miten meidän ei tarvitse huolehtia siitä, että tämä ongelma jakautuu nollaan, mikä on ongelma, joka meillä olisi ollut alkuperäisessä integraalissa, koska # T # nimessä. Koska tämä peruutettiin edellisessä vaiheessa, se osoittaa, että epäjatkuvuus on irrotettava, mikä toimii hyvin meille.

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # arvioitu #0# että # X #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

Varmista kuitenkin, että ymmärrätte, että tämä sarja on vain hyvä aikavälillä #(1, 1#, koska MacLaurin-sarja, jota käytimme edellä, on vastaava vain tällä aikavälillä. Tutustu tähän kaavioon, jonka olen tehnyt saadakseni paremman kuvan siitä, mitä tämä näyttää.

Toivottavasti se auttoi:)