Mikä on kaaren pituus r (t) = (t, t, t) tinalla [1,2]?

Vastaus:

#sqrt (3) #

Selitys:

Etsimme vektorifunktion kaaren pituutta:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # varten #t kohdassa 1,2 #

Joka voidaan arvioida helposti käyttämällä:

# L = int_alpha ^ beta bb (ul (r ') (t)) || t #

Joten laskemme johdannaisen, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Näin saamme kaaren pituuden:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || t #

# = int_1 ^ 2 qrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2)

# = int_1 ^ 2 qrt (3)

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

Tämän triviaalisen tuloksen ei pitäisi olla yllätys, koska annettu alkuperäinen yhtälö on suora.