Mikä on kaaren pituus r (t) = (t, t, t) tinalla [1,2]?

Vastaus:

#sqrt (3) #

Selitys:

Etsimme vektorifunktion kaaren pituutta:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # varten #t kohdassa 1,2 #

Joka voidaan arvioida helposti käyttämällä:

# L = int_alpha ^ beta bb (ul (r ') (t)) || t #

Joten laskemme johdannaisen, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Näin saamme kaaren pituuden:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || t #

# = int_1 ^ 2 qrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2)

# = int_1 ^ 2 qrt (3)

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

Tämän triviaalisen tuloksen ei pitäisi olla yllätys, koska annettu alkuperäinen yhtälö on suora.

James osallistuu 5 kilometrin kävelymatkaan keräämään rahaa hyväntekeväisyyteen. Hän on saanut 200 dollaria kiinteissä panteissa ja nostaa 20 dollaria ylimääräistä palkkaa jokaista kävijämäärää kohti. Miten käytät piste-kaltevuusyhtälöä löytääksesi määrän, jonka hän nostaa, jos hän lähtee kävelemään.

Viiden mailin jälkeen Jamesillä on 300 dollaria. Piste-kaltevuusyhtälön muoto on: y-y_1 = m (x-x_1), jossa m on kaltevuus, ja (x_1, y_1) on tunnettu piste. Tapauksessamme x_1 on lähtöasento, 0 ja y_1 on rahan lähtömäärä, joka on 200. Nyt yhtälömme on y-200 = m (x-0) Meidän ongelmamme on pyytää rahamäärää James on, mikä vastaa y-arvoa, mikä tarkoittaa, että meidän on löydettävä arvo m: lle ja x: lle. x on lopullinen kohde, joka on 5 kilometriä ja m kertoo meille. Ongelma kertoo meille,

Mikä on kaaren pituus r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) tinalla [1, ln2]?

Kaaren pituus ~ ~ 2.42533 (5dp) Kaaren pituus on negatiivinen johtuen alarajasta 1, joka on suurempi kuin ln2: n yläraja. Meillä on parametrinen vektorifunktio, jonka antaa: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Kaaripituuden laskemiseksi tarvitsemme vektorijohdannaisen, jonka voimme laskea käyttämällä tuotesääntöä: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Sitten laskemme johdannaisvek

Tähtien A parallaksi on 0,04 kaaren sekuntia. Star B: n parallaksi on 0,02 kaaren sekuntia. Mikä tähti on kauempana auringosta? Mikä on etäisyys A-tähteen auringosta, parsecsissa? Kiitos?

Star B on kauempana ja sen etäisyys Sunista on 50 parsecsia tai 163 valovuotta. Tähtien etäisyyden ja sen parallaksikulman välinen suhde on d = 1 / p, jossa etäisyys d mitataan parsekkeina (yhtä suuri kuin 3,26 valovuotta) ja parallaksikulma p mitataan arcsekunteina. Täten Star A on etäisyydellä 1 / 0,04 tai 25 parsecs, kun taas Star B on etäisyydellä 1 / 0,02 tai 50 parsecs. Täten Star B on kauempana ja sen etäisyys Sunista on 50 parsecsia tai 163 valovuotta.