Mikä on kaaren pituus r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) tinalla [1, ln2]?

Vastaus:

Kaaren pituus #~~ 2.42533 # (5dp)

Kaaren pituus on negatiivinen alarajan takia #1# on suurempi kuin yläraja # LN2 #

Selitys:

Meillä on parametrinen vektorifunktio, jonka antavat:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Kaaripituuden laskemiseksi tarvitsemme vektorijohdannaisen, jonka voimme laskea käyttämällä tuotesääntöä:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = <2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Sitten laskemme johdannaisvektorin suuruuden:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t) ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Sitten voimme laskea kaaripituuden käyttämällä:

# L = int_ (1) ^ (ln2) bb ul r '(t) | t #

# = int_ (1) ^ (ln2) qrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) t

On epätodennäköistä, että voimme laskea tämän integraalin analyyttisellä tekniikalla, joten käytämme numeerisia menetelmiä käyttämällä lähentymistä:

# L ~~ 2.42533 t (5dp)

Kaaren pituus on negatiivinen alarajan takia #1# on suurempi kuin yläraja # LN2 #